Найдем частные производные функции \( z= \arcsin(x^2y) \)
1.Найдем частную производную \( \frac{∂z}{∂x} \), т.е при нахождении производной будем считать \(x\) переменной, а \(y\) константой. Для нахождения частной производной воспользуемся формулой производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\) и применим формулу производной \( (\arcsin(x))' = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}\), получаем $$ \frac{∂z}{∂x} = \frac{∂(\arcsin(x^2y))}{∂x} = \frac{1}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}}(x^2y)_x' = \frac{2xy}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}}$$
2. Найдем частную производную \( \frac{∂z}{∂y} \), т.е при нахождении производной будем считать \(y\) переменной, а \(x\) константой. Для нахождения частной производной воспользуемся формулой производной сложной функции \((f(g(x)))' = f'(g(x))*g'(x)\) и применим формулу производной \( (\arcsin(x))' = \frac{1}{ \sqrt{1-x^2}}\), получаем $$ \frac{∂z}{∂y} = \frac{∂(\arcsin(x^2y))}{∂y} = \frac{1}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}}(x^2y)_y' = \frac{x^2}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}}$$
3. Запишем полный дифференциал функции \(∂f=\frac{∂f}{∂x}dx+\frac{∂f}{∂y}dy \)
$$ ∂f=\frac{∂f}{∂x}dx+\frac{∂f}{∂y}dy = \frac{2xy}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}} + \frac{x^2}{ \sqrt{1-(x^2y)^2}}$$
