Найдем интеграл: \( \int \sin(2x) \cos(6x)dx \)
Решение: упростим подынтегральное выражение, применим формулу произведения синуса и косинуса \( \sin(x)\cos(y) = \frac{ \sin(x+y) + \sin(x-y)}{2}\), подставляем $$\int \sin(2x) \cos(6x)dx = \int \frac{ \sin(2x+6x) + \sin(2x-6x)}{2}dx = $$$$ = \frac{1}{2}(\int \sin(8x)dx - \int \sin(4x)dx)$$ применяем табличный интеграл от синуса \( \int \sin(ax)dx = -\frac{1}{a}\cos(ax) +C\), получаем $$ = \frac{1}{2}( -\frac{1}{8}\cos(8x) + \frac{1}{4} \cos(4x)) + C = \frac{1}{8} \cos(4x) - \frac{1}{16}\cos(8x) + C$$
Ответ: \( \int \sin(2x) \cos(6x)dx = \frac{1}{8} \cos(4x) - \frac{1}{16}\cos(8x) + C \)
