Найдем интеграл: \( \int \frac{x+1}{2^x}dx \)
Решение: применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = u*v - \int vdu \quad (1)\)
Введем обозначения \( x+1 = u => dx=du\), а \( dv = \frac{1}{2^x}dx => v = \int 2^{-x}dx = - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)} \), подставляем в формулу (1) $$\int \frac{x+1}{2^x}dx = - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}*(x+1) + \int \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}dx = $$$$ - \frac{2^{-x}}{ \ln(2)}*(x+1) - \frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)} + C = - 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C$$
Ответ: \( \int \frac{x+1}{2^x}dx = - 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C \)
Проверка: проверяем решение методом дифференцирования $$(- 2^{-x}\frac{\ln(2)(x+1) + 1}{ \ln^2(2)} + C )' = \frac{1}{ \ln^2(2)}(- 2^{-x}(\ln(2)(x+1) + 1))' = $$ применяем формулу производной произведения \( (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\), получим $$ = \frac{1}{ \ln^2(2)}[(- 2^{-x})'(\ln(2)(x+1) + 1) - 2^{-x}(\ln(2)(x+1) + 1)') ] = $$$$ =\frac{1}{ \ln^2(2)}[( 2^{-x}\ln(2)(\ln(2)(x+1) + 1) - 2^{-x}\ln(2) ] = $$$$ =\frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)}[( \ln^2(2)x +\ln^2(2) + \ln(2) - \ln(2) ] = \frac{2^{-x}}{ \ln^2(2)}[( \ln^2(2)x +\ln^2(2)] = $$$$ = 2^{-x}( x+1) = \frac{x+1}{ 2^{x}}$$
