Решим дифференциальное уравнение: \( y=2x(y')^{2}+y^{2} \)
Решение: приведем это уравнение к уравнению вида \( \frac{dy}{dx} = f(x)g(y)\), т.е. к уравнению с разделяющимися переменными. $$ y=2x(y')^{2}+y^{2} => 2x(y')^{2} = y -y^{2}$$$$ (y')^{2} = \frac{y -y^2}{2x} => y' = \pm \sqrt{\frac{y -y^2}{2x}} =>$$ перенесем все переменные с \(x\) вправо, а с \(y\) влево $$ \frac{dy}{dx} = \pm \sqrt{ \frac{ y -y^2}{2x}} => \frac{dy}{ \sqrt{y -y^2}} = \pm \frac{dx}{\sqrt{2x}} $$ Найдем интеграл от правой и левой части уравнения $$ \int \frac{dy}{ \sqrt{y -y^2}} = \pm \int \frac{dx}{\sqrt{2x}} =>$$ в знаменателе интеграла по \(y\) выделим полный квадрат $$ \int \frac{dy}{\sqrt{-(y^2 -2*\frac{1}{2}y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4})}} = \pm \sqrt{2x} +C => \int \frac{dy}{ \sqrt{-((y -\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4})}} = \pm \sqrt{2x} +C =>$$$$\int \frac{dy}{ \sqrt{\frac{1}{4} - (y -\frac{1}{2})^2 }} = \pm \sqrt{2x} +C =>$$ применяем формулу табличного интеграл арксинуса \( \int \frac{dx}{ \sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin( \frac{x}{a}) + C\), получаем $$ \arcsin( \frac{y -\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}) = \pm \sqrt{2x} +C => \arcsin( 2y - 1) = \pm \sqrt{2x} +C =>$$$$ 2y -1 = \sin( \pm \sqrt{2x} +C) => y = \frac{\sin( \pm \sqrt{2x} +C)}{2} + \frac{1}{2}$$можно воспользоваться нечетностью синуса и вынести знак, при этом помним, что \(C\) - произвольная постоянная $$y = \pm \frac{\sin( \sqrt{2x} +C_1)}{2} + \frac{1}{2}$$ Проверяем точку \(x =0\), является ли она решением дифференциального уравнения методом подстановки. Эта точка является решением уравнения.
Ответ: \( y = \pm \frac{\sin( \sqrt{2x} +C_1)}{2} + \frac{1}{2} \)
