Решить дифференциальное уравнение: \(y = xy' + \frac{y'}{ \ln(y')}\)
Решение: данное дифференциальное уравнение является частным случаем уравнения Лагранжа \(y = \phi(y')x + \psi(y')\), при условии что \(\phi(y') = y'\).
Это уравнение называется уравнением Клеро $$ y = y'x + \psi(y')$$
Данное уравнение решается по следующему алгоритму:
1. Применяем замену \(y' = \frac{dy}{dx} = p => dy = pdx\).
Подставляем замену в дифференциальное уравнение $$y = xy' + \frac{y'}{ \ln(y')} => y = xp + \frac{p}{ \ln(p)} $$
2. Дифференцируем уравнение: $$ dy = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - \frac{p}{p}}{ \ln^2(p)}dp => dy = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp =>$$ из пункта (1) учтем, что \(dy = pdx\), подставляем $$ pdx = pdx + xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp => 0 = xdp + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}dp =>$$ выносим за скобки \(dp\) $$ (x + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)})dp = 0 => $$ возможны два решения этого дифференциального уравнения $$\begin{cases}dp = 0\\x + \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} = 0 \end{cases} => \begin{cases}p = C\\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases}$$ получили, что \(p\) является производной константой, т.е. \(p = C\).
3. Общее решение уравнения Клеро:
Общим решением уравнения Клеро является семейство прямых, запишем его: согласно п.2 параметр \(p=C\). Подставляем значение параметра в уравнение \(y = xp + \frac{p}{ \ln(p)}\), получаем $$y = xC + \frac{C}{ \ln(C)}$$ где \(C\) - произвольная постоянная. Согласно ОДЗ дроби и логарифма \(C > 0; \quad C \ne 1\) => \( C \in (0;1) \cup (1; +\infty)\)
4. Особое решение уравнения Клеро:
особым решением уравнения Клеро является кривая при значении \( x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)}\), запишем его $$ \begin{cases}y = xp + \frac{p}{ \ln(p)}\\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases} => \begin{cases}y = \frac{p}{ \ln^2(p)} \\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases} $$
Ответ: общим решением уравнения Клеро будет семья прямых \(y = xC + \frac{C}{ \ln(C)}\), где \(C\) - произвольная постоянная \( C \in (0;1) \cup (1; +\infty)\).
особым решением уравнения Клеро является кривая, которая огибает семью прямых общего решения $$ \begin{cases}y = \frac{p}{ \ln^2(p)} \\x = - \frac{\ln(p) - 1}{ \ln^2(p)} \end{cases} $$
