Loading Web-Font TeX/Main/Regular
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Движение по наклоннной плоскости


1 Vote
Оксана Курило
Posted Ноябрь 23, 2012 by Оксана Курилова
Категория: Школьная физика 9-11
Всего просмотров: 7584

Шайбу пустили сверху вниз по наклонной плоскости,  угол наклона которой составляющей 45^0  . Найти коэффициент трения , если время подъема в 2 раза меньше времени спуска.

Теги: фізика, рівноприскорений рух, рух по похилій площині, движение по наклонной плоскости

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Ноябрь 23, 2012 by Вячеслав Моргун

Рассмотрим по отдельности движение шайбы вниз и вверх и запишем уравнения движения.
1. Движение вниз по наклонной плоскости вниз.
На шайбу действуют следующие силы (смотрим рисунок )



m\vec{g} - сила тяжести, приложенная к центру масс,
N - сила нормальной реакции наклонной плоскости, эта сила перпендикулярна плоскости,
F_{тр} - сила трения скольжения, параллельная наклонной плоскости и направлена противоположно скорости (направлению) движения шайбы.
Ось Ох направлена вдоль плоскости, в сторону движения шайбы.


Составим уравнение движения в векторной форме m\vec{g}+\vec{F_{тр}}+\vec{N} = m\vec{a_{вниз}}

Найдем проекции всех сил на ось Ох.



  • Сила нормальной реакции опоры направлена перпендикулярно ось Ох, поэтому ее проекция на ось Ох равна 0 N_x=0.

  • Сила трения \vec{F_{тр}} параллельна оси Ох, но ее направление противоположно направлению оси Ох, поэтому проекция силы \vec{F_{тр}} на ось Ох равна -F_{тр}.

  • Проекция силы тяжести m\vec{g} на ось Ох равна mg\sin \alpha


Зная проекции всех сил на эту ось,  в составить со вторым законом Ньютона получаем mg\sin\alpha - F_{тр} = ma_{вниз}

Т.к. сила трения равна F_{тр} = \mu N
получаем mg\sin\alpha - \mu N = ma \quad (1)
Найдем проекции всех сил на ось Оу.



  • ускорение вдоль оси Оу равно нулю a=0


поэтому проекции всех остальных сил на ось Оу будут иметь следующий вид mg\cos\alpha - N =0 => N = mg\cos\alpha


Т.е. проекция на ось Оу нужна была, чтобы найти уравнение силы нормальной реакции опоры, которое подставим в (1), получаем mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_{вниз} =>
g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = a_{вниз}

Получили уравнение с двумя неизвестными a_{вниз} и \mu, нам нужно второе уравнение для составления системы уравнений. Второе уравнение мы получим из второй части задачи - движение шайбы вверх.


2. Движение вниз по наклонной плоскости вверх.


Составим уравнение движения в векторной форме m\vec{g}+\vec{F_{тр}}+\vec{N} = m\vec{a_{вверх}}


Найдем проекции всех сил на ось Ох по аналогии с п.1.


В данном случае шайба останавливается под действием силы тяжести и силы трения, проекции, которых вдоль оси Ох направлены в сторону противоположную движению. Зная проекции всех сил на эту ось,  в соответствии со вторым законом Ньютона получаем -mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_{вверх}=>-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = a_{вверх}

В задаче у нас есть еще одно условие - шайба остановилась в два раза быстрее при подъеме, чем при спуске. Рассмотрим формулу ускорения a=\frac{Δv}{Δt}
При движении вниз скорость менялась от 0 до v, при движении вверх от v до 0, т.е. Δv постоянная, а время при движении вверх в 2 раза меньше, т.е. a_{вверх}=\frac{Δv}{\frac{1}{2}Δt}=2*\frac{Δv}{Δt}=2a_{вниз}=2a


Теперь можно составить систему уравнений:
\begin{cases}g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = a\\-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a\end{cases}=> \begin{cases}2g\sin\alpha - 2\mu g\cos\alpha = -g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha\\-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a\end{cases}=>

\begin{cases}\mu g\cos\alpha=3g\sin\alpha\\-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a\end{cases}=>\begin{cases}\mu=3tg \alpha\\-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a\end{cases}=>
\begin{cases}\mu=3\\-g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha = 2a\end{cases}
Мы учли tg \alpha = tg 45^0 =1


Ответ: коэффициент трения равен \mu = 3