Исследуем функцию \( y = \ln(4-x^2) \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \( 4-x^2 > 0 => x_1 = -2; \quad x_2 = 2 \) \(D_f= (-2; 2) \)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \ln(4-(-x)^2) = \ln(4-x^2) \) функция является четной, т.е. она симметрична относительно оси Oy, поэтому далее будем исследовать функцию на интервале \((0;2) \), график функции на интервале \((-2; 0)\) получим путем симметричного переноса графика, полученного на интервале \((0; 2) \) относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \( \ln(4-x^2) = 0 => 4-x^2= 1 => x_1 = - \sqrt{3}, x_2 = \sqrt{3} \) , точки пересечения с осью Ox две, одна из них попадает в рассматриваемый интервал \((0; 2) \). Координаты точки пересечения с осью Ox \(( \sqrt{3}; 0)\)
Интервалы знакопостоянства функции. Получили два интервала знакопостоянства на ОДЗ.
интервал \((0; \sqrt{3})\) найдем значение функции в любой точке \( f(1) = \ln(4-x^2) > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \(( \sqrt{3}; 2)\) найдем значение функции в любой точке \( f(1.9) = \ln(4-x^2) < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: приравняем \(x=0 \), получим \( f(0) = \ln(4-0^2) = \ln(4) \approx 1.4 \). Координаты точки пересечения с осью Oy \(( 0; \ln(4))\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \ln(4-x^2) )' = -\frac{2x}{ 4 - x^2} $$ приравняем к 0 $$ -\frac{2x}{ 4 - x^2} = 0 => x = 0$$ Координаты стационарной точки \((0; \ln(4)) \).
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку на ОДЗ.
интервал \((0; 2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -\frac{2x}{ 4 - x^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
рассмотрим значение производной в симметричной точке
интервал \((-2; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -\frac{2x}{ 4 - x^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
для \(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((0; \ln(4))\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( -\frac{2x}{ 4 - x^2})'= -\frac{2(4 - x^2) + 2x*2x }{(4 - x^2)^2} =$$$$ = -\frac{8 - 2x^2 + 4x^2 }{(4 - x^2)^2} = -2\frac{x^2 + 4 }{(4 - x^2)^2} $$ Приравняем к нулю $$ -2\frac{x^2 + 4 }{(4 - x^2)^2} = 0 => 0$$
При всех значениях \(x\) на рассматриваемом интервале \((0; 2)\) функция точек перегиба не имеет, т.к. вторая производная функции не равна 0. Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ в пределах рассматриваемого интервала.
интервал \((0; 2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = -2\frac{x^2 + 4 }{(4 - x^2)^2} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Точек перегиба нет, т.к. вторая производная знак не меняет.
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \ln(4-x^2) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$ по ОДЗ график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ по ОДЗ график функции горизонтальной асимптоты не имеет .
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальную асимптоту на рассматриваемом интервале \((0;2)\) это \( x= 2\).
Рассмотрим поведение функции на границе ОДЗ \( x = 2\)
$$ \lim_{x \to 2-0} \ln(4 -x^2) = -\infty $$ в окрестности правой границы ОДЗ график функции стремится в \( - \infty\)
9. График функции.
