Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Знайдіть первісну для функції \(f(x)=\sin(x)-e^{3x}\), графік якої проходить через початок координат


0 Голосов
Julia Matskevich
Posted Март 17, 2014 by Julia Matskevich
Категория: Школьная математика 9-11
Всего просмотров: 5546

Знайдіть первісну для функції \(f(x)=\sin(x)-e^{3x}\), графік якої проходить через початок координат.

Теги: первообразная, найти первообразную функции проходящую через точку

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 17, 2014 by Вячеслав Моргун

Найдем первообразную функции: \( f(x)= \sin(x)-e^{3x}\), график функции, которой проходит через начало координат, т.е. точку с координатами \((0;0)\)
Решение: ищем первообразную $$ \int (\sin(x)-e^{3x})dx =  \int \sin(x)dx- \int e^{3x}dx =$$воспользуемся табличной формулой интегралов:
показательной функции \( \int e^{ax}dx = \frac{1}{a}e^{ax} +C\) и
тригонометрической функции \( \int \sin(x)dx = -\cos(x) + C\)$$= -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x}$$Получили множество кривых (первообразных), найдем кривую из этого множества, проходящую через точку, заданную в задании \(O (0; 0) \). Подставляем координаты точки в уравнение первообразной \( F(x) =  -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x}\) и находим значение \(C\), получаем $$F(0) =  -cos(0) - \frac{1}{3}e^{3*0} + C => 0 = -1 -\frac{1}{3} + C => C = \frac{4}{3}$$подставляем в уравнение первообразной $$F(x) = -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{4}{3}$$
Ответ
: первообразная функции \(f(x)= \sin(x)-e^{3x}\), проходящая через точку \(O (0; 0) \) равна \(F(x) = -cos(x) - \frac{1}{3}e^{3x} + \frac{4}{3} \)