Решим дифференциальное уравнение: \( x \sqrt{1+y^2}+yy' \sqrt{1+x^2}=0 \)
Решение: уравнение вида $$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$ называется уравнением с разделяющимися переменными. Решается методом переноса в разные части уравнения переменных (разделяем переменные), т.е. получаем уравнение $$ \frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$ Уравнение в задании является уравнением с разделяющимися переменными. Разделим переменные уравнения $$yy' \sqrt{1+x^2} = - x \sqrt{1+y^2}=> $$ переносим все члены с переменной \( y \) в левую часть уравнения, а с \(x \) в правую. Разделим обе части уравнения на \( \sqrt{1+x^2} *\sqrt{1+y^2} \). Нужно помнить, что при делении возможно появление особых решений (например знаменатель равен 0), которые нужно проверять отдельно. В данном задании \( \sqrt{1+x^2} *\sqrt{1+y^2} \ne 0\), поэтому особых решений нет. Получим $$ \frac{y}{ \sqrt{1+y^2}}\frac{dy}{dx} = - \frac{x}{ \sqrt{1+x^2}} => $$$$ \frac{y}{ \sqrt{1+y^2}}dy = - \frac{x}{ \sqrt{1+x^2}}dx$$ интегрируем правую и левую части уравнения $$ \int \frac{y}{ \sqrt{1+y^2}}dy= -\int \frac{x}{ \sqrt{1+x^2}}dx => $$ для нахождения интеграла введем замену \( t^2 = 1+y^2 => tdt = ydy \) и \( u^2 = 1+x^2 => udt = xdx \), получаем $$ \int \frac{t}{ \sqrt{t^2}}dt= -\int \frac{u}{ \sqrt{u^2}}du => $$$$ \int dt= -\int du => t= -u +C =>$$ применяем обратную замену \( t = \sqrt{1+y^2}\) и \( u = \sqrt{1+x^2}\), получаем $$ \sqrt{1+y^2} = - \sqrt{1+x^2} +C => y^2 = (- \sqrt{1+x^2} +C)^2 -1 =>$$ $$y = \pm \sqrt{(- \sqrt{1+x^2} +C)^2 -1} => y = \pm \sqrt{ C^2 - 2 \sqrt{1+x^2} +1 +x^2 -1} => $$$$y = \pm \sqrt{ C^2 - 2 \sqrt{1+x^2} +x^2} $$
Ответ: \( y = \pm \sqrt{ C^2 - 2 \sqrt{1+x^2} +x^2} \)
