Исследуем функцию \( y= \frac{(x+1)^2}{x-2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x -2 \ne 0 => x \ne 2\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 2) \cup (2;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точку разрыва x = 2
исследуем точку x= 2. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 2+0} \frac{(x+1)^2}{x-2} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 2-0} \frac{(x+1)^2}{x-2} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 2\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x+1)^2}{-x-2}\) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{(x+1)^2}{x-2} = 0 =>x = -1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (-1;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =-1 и одну точку разрыва x = 2, т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; -1) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{(-2+1)^2}{-2-2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \(( -1; 2) \) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{(0+1)^2}{0-2} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((2; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{(3+1)^2}{3-2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{(0+1)^2}{0-2} = -\frac{1}{2} \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; -\frac{1}{2})\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{(x+1)^2}{x-2} )'= \frac{2(x+1)(x-2) - (x+1)^2}{(x-2)^2}= $$$$ = (x+1)\frac{2x-4 - x-1)}{(x-2)^2} = \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}$$ приравняем к 0 $$ \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2} =0 => x_1=-1; \quad x_2=5$$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этих точках
\(f(-1)= \frac{(-1+1)^2}{-1-2} = 0 \), получили координаты критической точки \((-1; 0)\)
\(f(5)= \frac{(5+1)^2}{5-2} = 12 \), получили координаты критической точки \((5; 12)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки и одну точку \(x=2\), в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на четыре интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -1)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \( f(-2) = \frac{(-2-5)(-2+1)}{(-2-2)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( -1; 2)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(2) = \frac{(2-5)(2+1)}{(2-2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 2; 5)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(3) = \frac{(3-5)(3+1)}{(3-2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((5; +\infty)\) найдем знак первой производной в любой точке интервала \(f(6) = \frac{(6-5)(6+1)}{(6-2)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = -1\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-1; 0)\)
\(x = 5\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((5; 12)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2})'= ( \frac{x^2-4x-5}{(x-2)^2})' = $$$$ = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - 2(x-2)(x^2-4x-5)}{(x-2)^4} = \frac{(2x-4)(x-2) - 2(x^2-4x-5)}{(x-2)^3} = $$$$ = 2 \frac{x^2-4x+4 - x^2+4x+5}{(x-2)^3} = \frac{18}{(x-2)^3}$$ Приравняем к нулю $$ \frac{18}{(x-2)^3} = 0 => $$ точек возможного перегиба функция не имеет. Рассмотрим выпуклость функции на ОДЗ
интервал \((-\infty; 2)\) найдем знак второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{18}{(0-2)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((2; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = \frac{18}{(3-2)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция точек перегиба не имеет.
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x =1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{(x+1)^2}{x-2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)^2}{x(x-2)} = 1 => k= 1$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ подставляем $$ \lim_{x \to +\infty}( \frac{(x+1)^2}{x-2} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2x+1-x^2+2x}{x-2} = 4$$
Уравнение наклонной асимптоты \( y = x+4 \).
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{(x+1)^2}{x-2} = \infty $$
Горизонтальной асимптоты нет.
Определим, с какой стороны приближается график функции к наклонной асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty} (\frac{(x+1)^2}{x-2}-(x+4)) =\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2+2x+1 - x^2-2x+8}{x-2} = +0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty} (\frac{(x+1)^2}{x-2}-(x+4)) = \lim_{x \to -\infty} \frac{9}{x-2} = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
