Исследуем функцию \( y = e^{-x}*x^3 \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = e^{x}*(-x)^3 \) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( e^{-x}*x^3 = 0 => x = 0\). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox с координатами \((0;0)\).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox, т.е. два интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; 0) \) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = e^{1}*(-1)^3 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((0; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = e^{-1}*1^3 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = e^{0}*0^3 = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0;0)\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (e^{-x}*x^3 )'= -e^{-x}*x^3 + 3x^2e^{-x} = -e^{-x}x^2(x-3)$$ приравняем к 0 $$ -e^{-x}x^2(x-3) =0 => x_1 = 0; \quad x_2= 3$$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(0) = e^{0}*0^3 = 0 \), получили координаты критической точки \((0;0)\)
\(f(3) = e^{-3}*(3)^3 = \frac{27}{e^3} \approx 1,3\), получили координаты критической точки \((3; \frac{27}{e^3} )\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -e^{1}(-1)^2(-1-3) > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( 0; 3)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -e^{-1}1^2(1-3) > 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((3; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = -e^{-4}4^2(4-3) < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad +\), т.е. в этой точке функция не имеет экстремума. Это точка возможного перегиба.
\(x = 3\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((3; \frac{27}{e^3} )\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = (-e^{-x}x^2(x-3))' = (-e^{-x}x^3 +3*e^{-x}x^2)' = $$$$ = e^{-x}x^3 - 3x^2e^{-x} +6*e^{-x}x - 3*e^{-x}x^2$$ Приравняем к нулю $$ e^{-x}x^3 - 3x^2e^{-x} +6*e^{-x}x - 3*e^{-x}x^2 = 0 => e^{-x}(x^3 - 3x^2 +6x - 3x^2) = 0 =>$$$$ e^{-x}x(x^2 - 6x +6) = 0 => $$ Получили точки возможного перегиба $$ x_1=0; \quad x_2 = 3 - \sqrt{2}; \quad x_3 = 3 + \sqrt{3}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; 0\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = e^{1}(-1)((-1)^2 - 6(-1) +6) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((0; 3 - \sqrt{2})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = e^{-1}*1(1^2 - 6*1 +6) > 0 \), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{3} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = e^{-3}*3(3^2 - 6*3 +6) < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \(( 3 + \sqrt{3}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(10) = e^{-10}*10(10^2 - 6*10 +6) > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет три точки, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба.
точка \(x = 3 - \sqrt{3} \approx 1.3 \): \(\quad + \quad 0 \quad - \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба. Найдем значения функции \(f(3 - \sqrt{3}) \approx 0.57 \)
точка \(x = 3 + \sqrt{3} \): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Точка перегиба. Найдем значения функции \(f(3 + \sqrt{3}) \approx 0.93 \)
Координаты точек перегиба \((0; 0 )\) ; \(( 1.3; 0.57 )\) ; \(( 4.7; 0.93 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= e^{-x}*x^3 \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{-x}*x^3}{x} = 0 => k= 0 $$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k= 0\)
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}\frac{e^{-x}*x^3}{x} = 0 $$$$ \lim_{x \to -\infty}x^3*e^{x+1} = +\infty $$ Горизонтальная асимптота \( y = 0\) только при \( x \to +\infty\) .
9. График функции.
