Найдем интеграл: \( \int \sqrt{x} \ln(x)dx \)
Решение: применим формулу интегрирования по частям \( \int udv = uv - \int vdu\). Введем обозначения \( u = \ln(x) => du = \frac{1}{x}dx\) и \( dv = \sqrt{x}dx => v = \int \sqrt{x}dx \) применим табличную формулу интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \), получим \( v = \int \sqrt{x}dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{1}{ \frac{1}{2} + 1}x^{\frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C\)
Подставляем в формулу интегрирования по частям $$ \int \sqrt{x} \ln(x)dx = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \int \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\frac{1}{x}dx + C = $$$$ = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{2}{3}\int x^{\frac{1}{2}}dx +C = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{2}{3} \frac{1}{\frac{1}{2}+1}x^{\frac{1}{2}+1} + C = $$$$ = \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} \ln(x) - \frac{2}{3} \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{9}x^{\frac{3}{2}}(3 \ln(x) - 2) + C$$
Ответ: \( \int \sqrt{x} \ln(x)dx = \frac{2}{9}x^{\frac{3}{2}}(3 \ln(x) - 2) + C \)
