Найдем интеграл: \( \int \frac{x+2}{ \sqrt{x-1}}dx \)
Решение: выделем целую часть из числителя $$ \int \frac{x+2}{ \sqrt{x-1}}dx = \int \frac{x - 1 + 3}{ \sqrt{x-1}}dx = $$$$ = \int \frac{x - 1}{ \sqrt{x-1}}dx +\int \frac{3}{ \sqrt{x-1}}dx = $$$$ =\int \sqrt{x-1}dx +\int \frac{3}{ \sqrt{x-1}}dx = \quad (1)$$
Найдем интегралы отдельно
\( \int \sqrt{x-1}dx = \int (x-1)^{ \frac{1}{2}}dx \) применим формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем \( = \frac{1}{ \frac{1}{2}+1} (x-1)^{ \frac{1}{2}+1} + C = \frac{2}{3} (x-1)^{ \frac{3}{2}} + C\)
\( \int \frac{3}{ \sqrt{x-1}}dx = 3\int (x-1)^{- \frac{1}{2}}dx \) применим формулу табличного интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1}x^{a+1} + C\), получаем \( = 3\frac{1}{ -\frac{1}{2}+1} (x-1)^{ -\frac{1}{2}+1} + C = 3*2 (x-1)^{ \frac{1}{2}} + C = 6 \sqrt{x-1} + C\)
подставляем полученные результаты в (1)
$$ = \frac{2}{3} (x-1)^{ \frac{3}{2}} + 6 \sqrt{x-1} + C = \frac{2}{3}(x-1 + 9)\sqrt{x-1} = \frac{2}{3}(x + 8)\sqrt{x-1} + C$$
Ответ: \( \int \frac{x+2}{ \sqrt{x-1}}dx = \frac{2}{3}(x + 8)\sqrt{x-1} + C \)
