Найдем интеграл: \( \int \frac{3}{x^3-5x^2+3x+9}dx \)
Решение: найдем целые корни кубического уравнения (если они есть). Будем искать корни среди делителей свободного члена, получаем \( \pm 1; \quad \pm 3; \quad \pm 9 \), проверяем, является ли корнем \(x = -1\), получаем \((-1)^3-5(-1)^2+3(-1)+9 = 0\) - корень кубического уравнения. Найдем остальные корни, разделим кубическое уравнение на многочлен первой степени \(x+1\). \( \frac{x^3-5x^2+3x+9}{x+1} = x^2-6x+9\). Получили квадратное уравнение, найдем корни этого уравнения \(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36-4*9}}{2} = 3\). Получили корни \(x_1=3; \quad x_2 = 3; \quad x_3 = -1\). Подставляем результат в формулу интеграла $$ \int \frac{3}{x^3-5x^2+3x+9}dx = \int \frac{3}{(x+1)(x-3)^2}dx$$ Для нахождения интеграла применяем метод неопределенных коэффициентов \( \frac{3}{x^3-5x^2+3x+9} = \frac{3}{(x+1)(x-3)^2} \) = \( \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x-3)} + \frac{C}{(x-3)^2} => \quad (1) \) приводим дроби к общему знаменателю \( \frac{3}{(x+1)(x-3)^2} = \frac{A(x-3)^2 + B(x+1)(x-3) + C(x+1)}{(x+1)(x-3)^2} \) сравниваем коэффициенты многочленов в числителях равных дробей при \(x\) с равными степенями и находим неизвестные коэффициенты, т.е \( 3 = A(x^2-6x+9) + B(x^2-2x-3) + C(x+1)\) $$\begin{cases} 9A-3B+C = 3\\ -6A -2B + C = 0 \\ A+B =0\end{cases}=> \begin{cases} -9B-3B+C = 3\\ 6B -2B + C = 0 \\ A = -B\end{cases} => $$$$ \begin{cases} 3C+C = 3\\ 4B =- C \\ A = -B\end{cases} => \begin{cases} C = \frac{3}{4} \\ B =- \frac{3}{16} \\ A = \frac{3}{16} \end{cases} $$ подставляем в (1) \( \frac{3}{(x+1)(x-3)^2} =\frac{3}{16(x+1)} - \frac{3}{16(x-3)} + \frac{3}{4(x-3)^2} \) , теперь можно найти интеграл $$ \int \frac{3}{x^3-5x^2+3x+9}dx = \int (\frac{3}{16(x+1)} - \frac{3}{16(x-3)} + \frac{3}{4(x-3)^2})dx = $$$$ = \int \frac{3}{16(x+1)}dx - \int \frac{3}{16(x-3)}dx + \int \frac{3}{4(x-3)^2}dx =$$ применим табличную формулу интеграла от обратной функции \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x) + C \), и интеграла степенной функции \( \int x^{a}dx = \frac{1}{a+1}x^{a+1}\), получаем $$ = \frac{3}{16} \ln(x+1) - \frac{3}{16} \ln(x-3) - \frac{3}{4(x-3)} +C = \frac{3}{16}( \ln( \frac{x+1}{x-3}) - \frac{4}{x-3}) + C$$
Ответ: \( \int \frac{3}{x^3-5x^2+3x+9}dx = \frac{3}{16}( \ln( \frac{x+1}{x-3}) - \frac{4}{x-3}) + C \)
