Найдем интеграл путем сведения его к табличному. Т.к. в знаменателе \( \cos x \) есть смысл приводить к табличному интегралу \( \int \frac{1}{\cos^2 x} \, dx = \mbox{tg} x \) для этого применим формулу косинуса двойного угла, подучим $$ \int \frac{1}{1-\cos x} \, dx = \int \frac{1}{1-(2\cos^2 \frac{x}{2} -1)} \, dx = \int \frac{1}{2\cos^2 \frac{x}{2}} \, dx $$ получили в знаменателе угол \(\frac{x}{2}\). Введем вспомогательную переменную \( \frac{x}{2} = u => x = 2u => dx = 2du\) подставим замену в формулу. $$ \int \frac{1}{2\cos^2 u} \, 2du = \int \frac{1}{\cos^2 u} \, du = \mbox{tg}u$$ проведем обратную подстановку, получим $$ \int \frac{1}{1-\cos x} \, dx = \mbox{tg} \frac{x}{2}$$
