Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Известна плотность распределения случайной величины X:


0 Голосов
Петрова Женя
Posted Март 10, 2014 by Петрова Женя
Категория: Теория вероятностей
Всего просмотров: 5333

 Известна плотность распределения случайной величины X:
f(x) = \begin{cases}\frac{C}{1+x^2} & x \in [0; \sqrt{3}]\\ 0 & x \notin [0; \sqrt{3}]\end{cases}
Найти:
а) константу C
б) функцию распределения F(x)
в) математическое ожидание M(x)
г) дисперсию D(x)
д) среднеквадратическое отклонение \sigma_x
е) вероятность P(x > M(x))


Построить графики f(x) и F(x).

Теги: плотность распределения случайной величины, функция распределения, математическое ожидание, дисперсия

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Март 10, 2014 by Вячеслав Моргун

а) Найдем значение постоянной C функции плотности распределения f(x). Для того, чтобы функция f(x) была плотностью распределения вероятностей случайной величины x константа C должна быть C \geq 0. Для нахождения значения константы воспользуемся условием \int_{ \alpha}^{ \beta} f(x) = 1, подставляем данные задачи: \int_{0}^{ \sqrt{3}}{ \frac{C}{(1+x^2)}} =1 => C *arctg(x)|_{0}^{ \sqrt{3}} = 1 =>C \frac{ \pi}{3} = 1 => C = \frac{3}{ \pi}Подставляем в формулу плотности распределения на интервале (0; \sqrt{3}), получаем f(x) = \frac{3}{\pi(1+x^2)}
Ответ: постоянная C = \frac{3}{ \pi}, а функция распределения на интервале (0; \sqrt{3}) равна f(x) = \frac{3}{\pi(1+x^2)}
б) Найдем функцию распределения F(x). Для решения задачи воспользуемся формулой \int_{-\infty}^{x}f(t)dt = F(x). Найдем функцию распределения на интервалах
x \leq 0 F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{x}0dt = 0
0 < x \leq \sqrt{3} F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{0}f(t)dt  + \int_{0}^{ x}f(t)dt = = \int_{-\infty}^{0}0dt  + \int_{0}^{ x}\frac{3}{\pi(1+t^2)}dt = 0 + \frac{3}{ \pi} arctg(x) = \frac{3}{ \pi} arctg(x)
  \sqrt{3} < x F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt  = \int_{-\infty}^{0}f(t)dt  + \int_{0}^{ \sqrt{3}}f(t)dt + \int_{ \sqrt{3}}^{ x}f(t)dt  = = \int_{-\infty}^{0}0dt  + \int_{0}^{ \sqrt{3}}\frac{3}{\pi(1+t^2)}dt +  \int_{ \sqrt{3}}^{x}0dt = = 0 + \frac{3}{ \pi} arctg( \sqrt{3}) + 0 = = 0 + \frac{3}{ \pi} \frac{ \pi}{3} +0 = 1
Ответ: функция распределения имеет вид: F(x) = \begin{cases}0 & x \leq 0\\ \frac{3}{ \pi} arctg(x) & 0 < x \leq \sqrt{3}\\ \\ 1 & \sqrt{3} < x \end{cases}
в) Найдем математическое ожидание M(x)
Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a;b] находится по формуле M(x) = \int_{a}^{b}xf(x)dxМатематическое ожидание равно M(x) = \int_{0}^{\sqrt{3}}\frac{3x}{\pi(1+x^2)}dx = введем замену t^2 = 1+x^2 => 2tdt = 2xdx => tdt = xdx, получаем \int \frac{3t}{\pi t^2}dt = \int \frac{3}{ \pi t}dt = \frac{3}{ \pi}\ln(t) = применяем обратную замену = \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{1+x^2}). Подставляем в формулу математического ожидания = \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{1+x^2})|_{0}^{\sqrt{3}} = \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{1+( \sqrt{3})^2}) - \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{1+0^2}) = = \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{1+3}) = \frac{3}{ \pi} \ln(\sqrt{4}) = \frac{3}{ \pi}\ln(2) \approx 0,662
Ответ: математическое ожидание равно M(x) = 0,662
г) Найдем дисперсию D(x)
Дисперсию непрерывной случайной величины будем искать по формуле D(x) = \int_{ \alpha}^{ \beta}(x - M(x))^2f(x)dx. Подставляем исходные данные в формулу дисперсииD(x) = \int_{ 0}^{ \sqrt{3}}(x - \frac{3}{ \pi}\ln(2))^2\frac{3}{\pi(1+x^2)}dx = =\frac{3}{\pi}(\int_{ 0}^{ \sqrt{3}}\frac{x^2}{1+x^2}dx - 2\int_{ 0}^{ \sqrt{3}}\frac{x \frac{3}{ \pi}\ln(2)}{1+x^2}dx + \int_{ 0}^{ \sqrt{3}}(\frac{3}{ \pi}\ln(2))^2\frac{1}{1+x^2}dx) = = \frac{3}{\pi}(x - arctg(x)|_{0}^{\sqrt{3}} - \frac{6}{ \pi}\ln(2) \ln(\sqrt{1+x^2})|_{0}^{\sqrt{3}} + (\frac{3}{ \pi}\ln(2))^2arctg(x)|_{0}^{\sqrt{3}}) = = \frac{3}{\pi}( \sqrt{3} - arctg( \sqrt{3}) - \frac{6}{ \pi}\ln(2) \ln(\sqrt{1+(\sqrt{3})^2}) + (\frac{3}{ \pi}\ln(2))^2arctg( \sqrt{3})) = = \frac{3}{\pi}( \sqrt{3} - \frac{ \pi}{3} - \frac{6}{ \pi}\ln^2(2) + (\frac{3}{ \pi}\ln(2))^2\frac{ \pi}{3}) \approx 0,216
Ответ: математическое ожидание равно D(x) = 0,216
д) Найдем среднеквадратическое отклонение \sigma_x
Среднеквадратическое отклонение будем искать по формуле \sigma_x = \sqrt{D(x)} \sigma_x = \sqrt{0,216} = 0.465
е) Найдем вероятность P(x > M(x))
Вероятность попадания значений случайной величины X в интервал ( \alpha; \beta) равна P( \alpha < x < \beta) = \int_{ \alpha}^{ \beta}f(x)dx . Подставляем исходные данные в формулу вероятности P( 0,662 < x < \sqrt{3}) = \int_{ 0,662}^{ \sqrt{3}}\frac{3}{\pi(1+x^2)}dx = \frac{3}{ \pi} arctg(x)|_{ 0,662}^{ \sqrt{3}} = \frac{3}{ \pi} ( arctg(\sqrt{3}) - arctg(0,662)) = \frac{1}{2}


График функции плотности распределения f(x)


 


График функции распределения F(x)