Исследуем функцию \( y = \frac{3-x^2}{9+x^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(9+x^2 \ne 0 \). При всех значениях \(x\) знаменатель не равен нулю ОДЗ $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = y = \frac{3-(-x)^2}{9+(-x)^2} = y = \frac{3-x^2}{9+x^2} \) функция является четной, т.е функция симметрична относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{3-x^2}{9+x^2} = 0 => 3-x^2 = 0 => x_1= \sqrt{3}; x_2= - \sqrt{3} \). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox, т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty; - \sqrt{3})\) найдем значение функции в любой точке \(f(-2) = \frac{3-(-2)^2}{9+(-2)^2} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((- \sqrt{3} ; \sqrt{3})\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) =\frac{3-(0)^2}{9+(0)^2} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
интервал \(( \sqrt{3} ; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(2) = \frac{3-2^2}{9+2^2} < 0\), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{3-0^2}{9+0^2} = \frac{1}{3} \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами \((0; \frac{1}{3})\).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{3-x^2}{9+x^2} )'= \frac{-2x(9+x^2) - (3-x^2)*2x}{(9+x^2)^2} = $$$$ = \frac{-18x - 2x^3 - 6x +2x^3}{(9+x^2)^2} = - \frac{24x }{(9+x^2)^2} $$ приравняем к 0 $$ - \frac{24x }{(9+x^2)^2} =0 => x = 0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(0) = \frac{3-0^2}{9+0^2}= \frac{1}{3} \), получили координаты критической точки \(( 0; \frac{1}{3})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку, которая делит ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = -\frac{24(-1) }{(9+(-1)^2)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = -\frac{24*1 }{(9+1^2)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \(( 0; \frac{1}{3})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( - \frac{24x }{(9+x^2)^2})' = - \frac{24(9+x^2)^2 - 2(9+x^2)*24x*2x }{(9+x^2)^4}= $$$$ = - 24\frac{9+x^2 - 4x^2 }{(9+x^2)^3} = 72\frac{x^2-3}{(9+x^2)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 72\frac{x^2-3}{(9+x^2)^3} = 0 => x^2-3 = 0 => x_1 = -\sqrt{3}; \quad x_2 = \sqrt{3} $$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; -\sqrt{3})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = 72\frac{(-2)^2-3}{(9+(-2)^2)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((-\sqrt{3}; \sqrt{3} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 72\frac{0^2-3}{(9+0^2)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((\sqrt{3}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 72\frac{2^2-3}{(9+2^2)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет две точки, в которых вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -\sqrt{3}\): \(\quad + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(-\sqrt{3}) = \frac{3-(-\sqrt{3})^2}{9+(-\sqrt{3})^2} = 0\).
Координаты точки перегиба \((-\sqrt{3}; 0 )\)
точка \(x = \sqrt{3}\): \(\quad - \quad 0 \quad + \) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(0) = \frac{3-(\sqrt{3})^2}{9+(\sqrt{3})^2} = 0\).
Координаты точки перегиба \(( \sqrt{3}; 0 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{3-x^2}{9+x^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3-x^2}{x(9+x^2)} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k=0\) предел искать не будем. Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3-x^2}{9+x^2} = -1$$график функции стремится к \( y= -1\)$$ \lim_{x \to - \infty} \frac{3-x^2}{9+x^2} = -1$$график функции стремится к \( y= -1 \).
Горизонтальная асимптота \( y = -1 \).
Определим, с какой стороны приближается график функции к асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3-x^2}{9+x^2} = -1+0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty} \frac{3-x^2}{9+x^2} = -1+0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
9. График функции.
