Найдем предел: $$ \lim_{x \to 0} \frac{ tg(x) - \sin(x)}{x(1 - \cos(2x))} $$
Решение:
1. Найдем предел функции в точке \( x = 0 \) $$ \lim_{x \to 0} \frac{ tg(x) - \sin(x)}{x(1 - \cos(2x))} = \frac{ tg(0) - \sin(0)}{0*(1 - \cos(2*0))} = \frac{ 0 - 0}{0*(1 - 1)} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0} \).
Для разрешения этой неопределенности можно применить правило Лопиталя, но предварительно проведем преобразования.
2. Преобразования. $$ \lim_{x \to 0} \frac{ tg(x) - \sin(x)}{x(1 - \cos(2x))} = \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{ \sin(x)}{ \cos(x)} - \sin(x)}{x( \sin^2(x) + \cos^2(x) - \cos^2(x) + \sin^2(x))} = $$$$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) - \sin(x)\cos(x)}{x *2\sin^2(x)\cos(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \cos(x)}{x \sin(2x)} = \frac{1-1}{0*0} = \frac{0}{0}$$ получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\)
Для разрешения этой неопределенности применим правило Лопиталя.
3. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$
Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 0} \frac{ 1 - \cos(x)}{x \sin(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{ (1 - \cos(x))'}{(x \sin(2x))'} = $$ применяем формулы производной тригонометрических функций в числителе и знаменателе отдельно $$ = \lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{ \sin(2x) + 2x\cos(2x)} = \frac{0}{0+0} = \frac{0}{0}$$Повторно применяем правило Лопиталя $$ = \lim_{x \to 0} \frac{( \sin(x))'}{(\sin(2x) + 2x\cos(2x))'} = \lim_{x \to 0} \frac{ \cos(x)}{2\cos(2x) + 2\cos(2x) - 4x\sin(2x)} = $$$$ = \frac{ \cos(0)}{2\cos(2*0) + 2\cos(2*0) - 4*0\sin(2*0)} = \frac{1}{2+2-0} = \frac{1}{4}$$
4. Ответ: \( \lim_{x \to 0} \frac{ tg(x) - \sin(x)}{x(1 - \cos(2x))} = \frac{1}{4} \)
