Найдем значение \(a\) при котором функция \(f(x)\) принимает наибольшее значение. Рассматриваемая функция - парабола, оси которой направлены вниз. Вершина параболы - точка максимума. Найдем точку максимума после открытия модуля, используя первую производную (достаточное условие существования стационарной точки - равенство \(f'(x)=0\))
Рассмотрим два случая, раскроем модуль, найдем стационарную точку:
- \(x > a. f(x)=|x-a|-x^2 => f(x)=x-a-x^2\). Найдем стационарную точку $$f'(x)=(x-a-x^2)'=0 =>1-2x=0 =>x=\frac{1}{2}$$Подставим полученное решение в функцию и найдем значения \(a\), при которых функция \(f(x) \geq 1\). $$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2}-a-\frac{1}{4} \geq 1 =>a \leq -\frac{3}{4}$$Необходимо проверить наше условие \(x > a\). $$x=\frac{1}{2}, a \leq -\frac{3}{4} =>x > a$$
- \(x < a. f(x)=|x-a|-x^2 => f(x)=-x+a-x^2\). Найдем стационарную точку $$f'(x)=(-x+a-x^2)'=0 =>-1-2x=0 =>x=-\frac{1}{2}$$Подставим полученное решение в функцию и найдем значения \(a\), при которых функция \(f(x) \geq 1\ \) $$f(-\frac{1}{2})=\frac{1}{2}+a-\frac{1}{4} \geq 1 =>a \geq \frac{3}{4}$$Необходимо проверить наше условие \(x < a\). $$x=-\frac{1}{2}, a \geq \frac{3}{4} =>x < a$$
Ответ: \(|a| \geq \frac{3}{4}\)
