Исследуем ряд на сходимость \( \sum_{n=1}^\infty (\frac{2n-1}{5n+2})^{3n-2} \)
Решение: для исследования ряда на сходимость,
воспользуемся признаком Коши:
Если ряд \( \sum_{n=1}^{ \infty} a_n\) положителен и \( \lim_{ n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = q\), то при \( q < 1 \) этот ряд сходится, а при \( q > 1 \) расходится. При \( q = 1 \) о сходимости ряда ничего сказать нельзя.
Решение: найдем предел $$ \lim_{ n \to \infty} \sqrt[n]{ (\frac{2n-1}{5n+2})^{3n-2}} = \lim_{ n \to \infty}(\frac{2n-1}{5n+2})^{ \frac{3n-2}{n}} = $$$$ = \lim_{ n \to \infty}(\frac{2n-1}{5n+2})^3 * (\frac{5n+2}{2n-1})^{ \frac{2}{n}} = \lim_{ n \to \infty}(\frac{2n-1}{5n+2})^3 * \lim_{ n \to \infty} (\frac{5n+2}{2n-1})^{ \frac{2}{n}} = $$$$ = \frac{8}{125} \lim_{ n \to \infty} (\frac{5n+2}{2n-1})^{ \frac{2}{n}} = $$ для нахождения предела применим формулу основного логарифмического тождества \( a^{ \log_ax} = x\) $$ = \frac{8}{125} \lim_{ n \to \infty} e^{ \ln(\frac{5n+2}{2n-1})^{ \frac{2}{n}}} = \frac{8}{125} \lim_{ n \to \infty} e^{ \frac{2}{n} \ln(\frac{5n+2}{2n-1})} = $$$$ = \frac{8}{125} e^{\lim_{ n \to \infty}( \frac{2}{n} \ln(\frac{5n+2}{2n-1}))} = \frac{8}{125} e^0 = \frac{8}{125}$$
Вывод: получили предел, который \( \frac{8}{125} < 1 \), т.е. ряд сходится
Ответ: ряд \( \sum_{n=1}^\infty (\frac{2n-1}{5n+2})^{3n-2} \) - сходится.
