Для доказательства этого неравенства используем следующий прием: умножим обе части неравенства на \(\sin^2x\). Из условия задачи известно, что его \(x \in (0; \frac{\pi}{2}]\), т.е. \(0< \sin^2x \leq 1\), т.е положительный.
$$\frac{1}{\sin^2x}*\sin^2x \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x => 1 \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x =>$$т.к. \(0 < \sin^2x < 1 \), заменим \(\sin^2x \) его максимальным значением - 1, получим следующее двойное неравенство$$ 1 \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}$$Рассмотрим вторую часть неравенства $$ 1 \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2} => 0 \leq \frac{1}{x^2}-\frac{4}{\pi^2}$$$$ \frac{4}{\pi^2} \leq \frac{1}{x^2} =>\frac{\pi^2}{4} \geq x^2 => |x| \leq \frac{\pi}{2} =>0 < x \leq \frac{\pi}{2}$$Вывод: на основании свойств неравенств можно сделать вывод, что исходное неравенство также будет выполняться на заданном интервале, т.е. данное неравенство будет истинно на интервале \( (0; \frac{\pi}{2}] \).
