Для доказательства этого неравенства используем следующий прием: умножим обе части неравенства на \sin^2x. Из условия задачи известно, что его x \in (0; \frac{\pi}{2}], т.е. 0< \sin^2x \leq 1, т.е положительный.
\frac{1}{\sin^2x}*\sin^2x \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x => 1 \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x =>
т.к.
0 < \sin^2x < 1 , заменим
\sin^2x его максимальным значением - 1, получим следующее двойное неравенство
1 \leq (\frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2})*\sin^2x \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2}
Рассмотрим вторую часть неравенства
1 \leq \frac{1}{x^2}+1-\frac{4}{\pi^2} => 0 \leq \frac{1}{x^2}-\frac{4}{\pi^2}
\frac{4}{\pi^2} \leq \frac{1}{x^2} =>\frac{\pi^2}{4} \geq x^2 => |x| \leq \frac{\pi}{2} =>0 < x \leq \frac{\pi}{2}
Вывод: на основании свойств неравенств можно сделать вывод, что исходное неравенство также будет выполняться на заданном интервале, т.е. данное неравенство будет истинно на интервале
(0; \frac{\pi}{2}] .
