Правило Лопиталя - метод для вычисления пределов, имеющих неопределенность типа \(\frac{0}{0}\) или \(\frac{\infty}{\infty}\).
Пусть a - некоторое конечное действительное число или \(a = \infty\).
Если
$$\ \lim_{x \to a}{f(x)}= \ \lim_{x \to a}{g(x)}=0 $$$$ \ \lim_{x \to a}{f(x)}= \ \lim_{x \to a}{g(x)} = \infty$$
\(f(x)\) и \(g(x)\) дифференцируемы в проколотой окрестности \(a\);
тогда существует $$\ \lim_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \ \lim_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$$
Приступим к решению
1. Проверяем, существует ли неопределенность при вычислении предела
$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{\frac{\tan{(3x)}}{\tan{(5x)}}} = \frac{\tan{(3\frac{\pi}{2})}}{\tan{(5\frac{\pi}{2})}} = \frac{\infty}{\infty}$$
2. Функция \(\tan\) - дифференцируемая.
Ищем предел $$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{\frac{\tan{(3x)}}{\tan{(5x)}}} = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}{\frac{\tan{'(3x)}}{\tan{'(5x)}}} \Rightarrow$$$$ \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {\frac{3\frac{1}{\cos^2{3x}}}{5 \frac{1}{\cos^2{5x}}}} = \frac{3}{5} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {\frac{\cos^2{5x}}{\cos^2{3x}}} \Rightarrow$$$$ \frac{3}{5} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {(\frac{\cos3x\cos2x - \sin3x\sin2x}{\cos3x})^2} = \frac{3}{5} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {(\cos{2x} - \frac{\sin{3x}\sin{2x}}{\cos{3x}})^2} \Rightarrow$$$$ \frac{3}{5} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {(\cos{2x} - \frac{\sin{3x}*2\sin{x}\cos{x}}{\cos{2x}\cos{x} - 2\sin{x}\cos{x}\sin{x}})^2} = \frac{3}{5} \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} {(\cos{2x} - \frac{2*\sin{3x}\sin{x}}{\cos{2x} - 2\sin^2{x}})^2} \Rightarrow$$$$ \frac{3}{5} (\cos{(2\frac{\pi}{2})} - 2\frac{\sin{(3\frac{\pi}{2})}\sin{(\frac{\pi}{2})}} {\cos{(2\frac{\pi}{2})} - 2\sin^2{(\frac{\pi}{2})}})^2 = \frac{3}{5} ( -1 - 2\frac{(-1)*1}{-1 - 2})^2 \Rightarrow $$ $$ \frac{3}{5} ( -1 - \frac{2}{3})^2 = \frac{3}{5} (\frac{5}{3})^2 = \frac{5}{3}$$
