1.Найдем первую производную функции заданной неявно \( \ln(x) + \ln(y) = xy\).
Производную будем искать по \(x\) - независимая переменная, при этом помним, что \(y\) - функция от \(x\), т.е. \(y = f(x)\).
Дифференцируем обе части равенства $$ (\ln(x) + \ln(y))'= (xy)' => \frac{1}{x} + \frac{1}{y}y' = y + xy' $$ Решаем равенство относительно \(y'\), получаем $$ y' = \frac{y - \frac{1}{x}}{ \frac{1}{y} -x} = -\frac{y}{x}$$
Первую производную можно было найти по формуле $$y'_x = -\frac{F'_x(x;y)}{F'_y(x;y)}$$ где \(F(x;y) = \ln(x) + \ln(y) - xy\). При этом учитываем, что \(x\) и \(y\) - две независимые переменные
Найдем частную производную по \(x\): \(F'_x(x;y)\), получаем $$F'_x = \frac{1}{x} - y$$
Найдем частную производную по \(y\): \(F'_y(x;y)\), получаем $$F'_y = \frac{1}{y} - x$$
Подставляем в формулу (1) $$y'_x = -\frac{F'_x(x;y)}{F'_y(x;y)} = -\frac{\frac{1}{x} - y}{\frac{1}{y} - x} = -\frac{y}{x}$$
2.Найдем вторую производную функции заданной неявно \( \ln(x) + \ln(y) = xy\).
Известна первая производная \(y' = -\frac{y}{x}\), ищем вторую производную \(y'' = (y')'\) первым методом, т.е. \(x\) - независимая переменная, а \(y = f(x)\) - функция от \(x\), получаем $$y'' = (-\frac{y}{x})' = $$ применяем формулу производной дроби \( (\frac{f(x)}{g(x)})' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}\), получаем $$ = - \frac{y'x - y}{x^2} = \frac{y -y'x}{x^2}$$ подставим значение первой производной $$ = \frac{y + \frac{y}{x}x}{x^2} = \frac{2y}{x^2}$$
3. Ответ:
первая производная \( y' = -\frac{y}{x}\)
вторая производная \( y'' = \frac{2y}{x^2}\)
