Исследуем функцию \( y= \frac{x^2+3x+1}{x^2+1}\) и построим ее график.
Преобразуем функцию \(\frac{x^2+3x+1}{x^2+1} = 1 + \frac{3x}{x^2+1}\)
Исследуем полученную функцию \(y = 1 + \frac{3x}{x^2+1}\) и построим график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2+1 \ne 0 \). При всех значениях \(x\) знаменатель не равен нулю ОДЗ $$D_f=(-\infty; +\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция не имеет точек разрыва.
Функция не имеет вертикальной асимптоты.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = 1 + \frac{3(-x)}{(-x)^2+1} = 1 - \frac{3x}{x^2+1}\) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x^2+3x+1}{x^2+1} = 0 =>x^2+3x+1 =0 => x_1=-\frac{3}{2} + \frac{ \sqrt{5}}{2}; x_2=-\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5}}{2}\). Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет две точки пересечения с осью Ox, т.е. три интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5}}{2})\) найдем значение функции в любой точке \(f(-10) = 1 + \frac{3(-10)}{(-10)^2+1} > 0\), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox
интервал \((-\frac{3}{2} - \frac{ \sqrt{5}}{2} ; -\frac{3}{2} + \frac{ \sqrt{5}}{2})\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) =1 + \frac{3*(-1)}{(-1)^2+1} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. функция находится ниже оси Ox
интервал \((-\frac{3}{2} + \frac{ \sqrt{5}}{2}; +\infty) \) найдем значение функции в любой точке \(f(10) =1 + \frac{3*10}{10^2+1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = 1 + \frac{3*0}{0^2+1} = 1 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;1).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( 1 + \frac{3x}{x^2+1} )'= \frac{3(x^2+1) - 3x*2x}{(x^2+1)^2} = 3 \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} $$ приравняем к 0 $$ 3 \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2} =0 => 1 - x^2 = 0 => x = \pm 1$$ функция имеет две критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(-1) = 1 + \frac{3(-1)}{(-1)^2+1} = -\frac{1}{2} \), получили координаты критической точки \((-1; -\frac{1}{2})\)
\(f(1) = 1 + \frac{3*1}{1^2+1} = \frac{5}{2} \), получили координаты критической точки \((1; \frac{5}{2})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет две критические точки они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-2) = 3 \frac{1 - (-2)^2}{((-2)^2+1)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( -1; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0) = 3 \frac{1 - 0^2}{(0^2+1)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = 3 \frac{1 - 2^2}{(2^2+1)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получаем:
\(x = -1\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((-1; -\frac{1}{2})\)
\(x = 1\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((1; \frac{5}{2})\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 3 \frac{1 - x^2}{(x^2+1)^2})' = 3\frac{-2x(x^2+1)^2 - (1 - x^2)2(x^2+1)2x}{(x^2+1)^4} = $$$$ = 3\frac{-2x(x^2+1) - 4(1 - x^2)x}{(x^2+1)^3} = -6\frac{x^3+x + 2x - 2x^3}{(x^2+1)^3} = 6\frac{x^3 -3x}{(x^2+1)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 6\frac{x^3 -3x}{(x^2+1)^3} = 0 => x^3 -3x = 0 => x_1 =0; \quad x_2 = \sqrt{3}; \quad x_3 = -\sqrt{3}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точек возможного перегиба
интервал \((-\infty; -\sqrt{3})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-2) = 6\frac{(-2)^3 -3(-2)}{((-2)^2+1)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-\sqrt{3}; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 6\frac{(-1)^3 -3(-1)}{((-1)^2+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; \sqrt{3} )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 6\frac{1^3 -3}{(1^2+1)^3} < 0\), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((\sqrt{3}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = 6\frac{2^3 -3}{(2^2+1)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет три точки, в которой вторая производная равна нулю - точки возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эти точки, рассмотрим эти точки
точка \(x = -\sqrt{3}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(-\sqrt{3}) = 1 + \frac{3(-\sqrt{3})}{(-\sqrt{3})^2+1} = 1- \frac{3\sqrt{3}}{4}\).
Координаты точки перегиба \((-\sqrt{3}; 1- \frac{3\sqrt{3}}{4} )\) приближенные координаты для построения графика \((-1.7; -0.3 )\)
точка \(x = 0\): \(\quad + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(0) = 1 + \frac{3*0}{0^2+1} = 1\).
Координаты точки перегиба \((0; 1 )\)
точка \(x = \sqrt{3}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(\sqrt{3}) = 1 + \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2+1} = 1+ \frac{3\sqrt{3}}{4}\).
Координаты точки перегиба \((\sqrt{3}; 1 + \frac{3\sqrt{3}}{4} )\) приближенные координаты для построения графика \((1.7; 2.3 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты не имеет (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= 1 + \frac{3x}{x^2+1} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty}( \frac{1}{x} + \frac{3x}{x(x^2+1)}) = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k=0\) Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty}(1 + \frac{3x}{x^2+1}) = 1$$график функции стремится к \( y=1\)$$ \lim_{x \to - \infty}( 1 + \frac{3x}{x^2+1}) = 1$$график функции стремится к \( y=1 \).
Горизонтальная асимптота \( y = 1 \).
Определим, с какой стороны приближается график функции к асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{3x}{x^2+1}) = 1+0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty} (1 + \frac{3x}{x^2+1}) =1-0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
