Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/Latin1Supplement.js
Зарегистрироваться
Seekland Info сообщество взаимопомощи студентов и школьников. / Seekland Info спільнота взаємодопомоги студентів і школярів.

Провести полное исследование функции y=\frac{x^2}{2(x-1)^2}


0 Голосов
BOMBOMBOM
Posted Февраль 25, 2014 by BOMBOMBOM
Категория: Математический анализ
Всего просмотров: 1924

Провести полное исследование функции y=\frac{x^2}{2(x-1)^2}

Теги: полное исследование функции, исследовать функцию, построить график

Лучший ответ


0 Голосов
Вячеслав Морг
Posted Февраль 25, 2014 by Вячеслав Моргун

Исследуем функцию y= \frac{ x^2}{2(x-1)^2} и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. x -1 \ne  0 => x \ne 1.  ОДЗ D_f=(-\infty; 1)  \cup (1;+\infty)


2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точки разрыва  x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа \lim_{x \to 1+0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  +\infty и слева от точки \lim_{x \to 1-0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  +\infty Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \infty.
Прямая x = 1 является вертикальной асимптотой.


3. Четность функции.
Проверяем на четность f(-x) =  \frac{ (-x)^2}{2(-x-1)^2}  = \frac{ x^2}{2(x+1)^2}  функция является ни четной,  ни не четной.


4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем y=0, получим \frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  0 =>x = 0 .  Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке  с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =0 и одну точку разрыва x = 1, т.е. три интервала знакопостоянства
В числителе и знаменателе функции переменная в квадрате, т.е. при всех значениях переменной x функция будет положительная  f(x) > 0 , т.е. находится выше оси Ox на всем ОДЗ.


5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять f(0) = \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} =0 . Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами (0;0).


6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю y' = (  \frac{ x^2}{2(x-1)^2})'=  \frac{ 2x(x-1)^2 - 2(x-1)x^2}{2(x-1)^4} = = \frac{ x(x-1) - x^2}{(x-1)^3} = \frac{ x^2-x - x^2}{(x-1)^3} = - \frac{x}{(x-1)^3} приравняем к 0 - \frac{x}{(x-1)^3} =0 => x=0 функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
f(0)=  \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} = 0 , получили координаты критической точки (0; 0)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точки, в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал (-\infty; 0) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(-1) = - \frac{-1}{(-1-1)^3}   <  0, на этом интервале функция убывает.
интервал ( 0; 1) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(0,5) = - \frac{0,5}{(0,5-1)^3}   >  0, на этом интервале функция возрастает.
интервал (1; +\infty) найдем значение первой производной в любой точке интервала f(2) = - \frac{2}{(2-1)^3} < 0, на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
x = 0: \quad - \quad 0 \quad +, т.е. функция имеет точку минимума с координатами  (0; 0) 


7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю y'' = ( - \frac{x}{(x-1)^3})'= - \frac{(x-1)^2 - 3(x-1)^2x}{(x-1)^6} = = - \frac{x-1 - 3x}{(x-1)^4} =  \frac{2x+1}{(x-1)^4} Приравняем к нулю \frac{2x+1}{(x-1)^4} = 0 => 2x+1 = 0 => x = -\frac{1}{2} Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал (-\infty; -\frac{1}{2}) найдем значение второй производной в любой точке f''(-1) =  \frac{2*(-1)+1}{(-1-1)^4}  < 0 , на этом интервале вторая производная функции отрицательная f''(x) < 0 - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал (-\frac{1}{2}; 1) найдем значение второй производной в любой точке f''(0) =  \frac{2*0+1}{(0-1)^4}     >  0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал (1;  + \infty ) найдем значение второй производной в любой точке f''(2) =  \frac{2*2+1}{(2-1)^4}    > 0, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная f''(x) > 0 - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю  x = -\frac{1}{2}- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
 \quad - \quad 0 \quad + вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке f(-\frac{1}{2}) = \frac{ (-\frac{1}{2})^2}{2((-\frac{1}{2})-1)^2} = \frac{1}{18}. Координаты точки перегиба (-\frac{1}{2};  \frac{1}{18} )


8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x =1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции у=  \frac{ x^2}{2(x-1)^2}   при x \to \infty имел наклонную асимптота y = kx+b, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела \lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k находим его \lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2}{2x(x-1)^2} = 0 => k= 0 и второй предел \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = bТ.к. k=0
Наклонной асимптоты нет.


Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел \lim_{x \to +\infty}f(x) = b найдем его \lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}график функции стремится к \frac{1}{2} \lim_{x \to - \infty}  \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}график функции стремится к \frac{1}{2}.
Горизонтальная асимптота y =  \frac{1}{2} .
Определим, с какой стороны приближается график функции к асимптоте, для этого найдем пределы:
\lim_{x \to +\infty}  (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2})  = \lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2 - x^2+2x-1}{2(x-1)^2} = +0 график функции приближается к асимптоте сверху
\lim_{x \to -\infty}  (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2})  = \lim_{x \to -\infty}  \frac{ 2x-1}{2(x-1)^2} = -0 график функции приближается к асимптоте снизу


9. График функции.