Провести полное исследование функции $$y=\frac{x^2}{2(x-1)^2}$$

Исследуем функцию $y= \frac{ x^2}{2(x-1)^2}$ и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. $x -1 \ne  0 => x \ne 1$.  ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1)  \cup (1;+\infty)$$

2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точки разрыва  x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 1+0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  +\infty$$ и слева от точки $$\lim_{x \to 1-0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  +\infty$$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны $\infty$.
Прямая $x = 1$ является вертикальной асимптотой.

3. Четность функции.
Проверяем на четность $f(-x) =  \frac{ (-x)^2}{2(-x-1)^2}  = \frac{ x^2}{2(x+1)^2}$  функция является ни четной,  ни не четной.

4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем $y=0$, получим $\frac{ x^2}{2(x-1)^2} =  0 =>x = 0$.  Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке  с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =0 и одну точку разрыва x = 1, т.е. три интервала знакопостоянства
В числителе и знаменателе функции переменная в квадрате, т.е. при всех значениях переменной $x$ функция будет положительная  $f(x) > 0$, т.е. находится выше оси Ox на всем ОДЗ.

5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять $f(0) = \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} =0$. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке  с координатами (0;0).

6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (  \frac{ x^2}{2(x-1)^2})'=  \frac{ 2x(x-1)^2 - 2(x-1)x^2}{2(x-1)^4} =$$ $$= \frac{ x(x-1) - x^2}{(x-1)^3} = \frac{ x^2-x - x^2}{(x-1)^3} = - \frac{x}{(x-1)^3}$$ приравняем к 0 $$- \frac{x}{(x-1)^3} =0 => x=0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
$f(0)=  \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} = 0$, получили координаты критической точки $(0; 0)$
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точки, в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал $(-\infty; 0)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(-1) = - \frac{-1}{(-1-1)^3}   <  0$, на этом интервале функция убывает.
интервал $( 0; 1)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(0,5) = - \frac{0,5}{(0,5-1)^3}   >  0$, на этом интервале функция возрастает.
интервал $(1; +\infty)$ найдем значение первой производной в любой точке интервала $f(2) = - \frac{2}{(2-1)^3} < 0$, на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
$x = 0$: $\quad - \quad 0 \quad +$, т.е. функция имеет точку минимума с координатами  $(0; 0)$ 

7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( - \frac{x}{(x-1)^3})'= - \frac{(x-1)^2 - 3(x-1)^2x}{(x-1)^6} =$$ $$= - \frac{x-1 - 3x}{(x-1)^4} =  \frac{2x+1}{(x-1)^4}$$ Приравняем к нулю $$\frac{2x+1}{(x-1)^4} = 0 => 2x+1 = 0 => x = -\frac{1}{2}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал $(-\infty; -\frac{1}{2})$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(-1) =  \frac{2*(-1)+1}{(-1-1)^4}  < 0$, на этом интервале вторая производная функции отрицательная $f''(x) < 0$ - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал $(-\frac{1}{2}; 1)$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(0) =  \frac{2*0+1}{(0-1)^4}     >  0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал $(1;  + \infty )$ найдем значение второй производной в любой точке $f''(2) =  \frac{2*2+1}{(2-1)^4}    > 0$, т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная $f''(x) > 0$ - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю  $x = -\frac{1}{2}$- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
 $\quad - \quad 0 \quad +$ вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке $f(-\frac{1}{2}) = \frac{ (-\frac{1}{2})^2}{2((-\frac{1}{2})-1)^2} = \frac{1}{18}$. Координаты точки перегиба $(-\frac{1}{2};  \frac{1}{18} )$

8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x =1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции $у=  \frac{ x^2}{2(x-1)^2}$  при $x \to \infty$ имел наклонную асимптота $y = kx+b$, необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2}{2x(x-1)^2} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ Т.к. $k=0$
Наклонной асимптоты нет.

Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}$$ график функции стремится к $\frac{1}{2}$ $$\lim_{x \to - \infty}  \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}$$ график функции стремится к $\frac{1}{2}$.
Горизонтальная асимптота $y =  \frac{1}{2}$.
Определим, с какой стороны приближается график функции к асимптоте, для этого найдем пределы:
$$\lim_{x \to +\infty}  (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2})  = \lim_{x \to +\infty}  \frac{ x^2 - x^2+2x-1}{2(x-1)^2} = +0$$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$\lim_{x \to -\infty}  (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2})  = \lim_{x \to -\infty}  \frac{ 2x-1}{2(x-1)^2} = -0$$ график функции приближается к асимптоте снизу

9. График функции.