Исследуем функцию \( y= \frac{ x^2}{2(x-1)^2} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь): знаменатель не равен нулю, т.е. \(x -1 \ne 0 => x \ne 1\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет одну точки разрыва x = 1
исследуем точку x= 1. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to 1+0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 1-0} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = +\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 1\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{ (-x)^2}{2(-x-1)^2} = \frac{ x^2}{2(x+1)^2}\) функция является ни четной, ни не четной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = 0 =>x = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =0 и одну точку разрыва x = 1, т.е. три интервала знакопостоянства
В числителе и знаменателе функции переменная в квадрате, т.е. при всех значениях переменной \(x\) функция будет положительная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox на всем ОДЗ.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} =0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;0).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{ x^2}{2(x-1)^2})'= \frac{ 2x(x-1)^2 - 2(x-1)x^2}{2(x-1)^4} = $$$$ = \frac{ x(x-1) - x^2}{(x-1)^3} = \frac{ x^2-x - x^2}{(x-1)^3} = - \frac{x}{(x-1)^3}$$ приравняем к 0 $$ - \frac{x}{(x-1)^3} =0 => x=0$$ функция имеет одну критическую (стационарную) точку.
Найдем значение функции в этой точке
\(f(0)= \frac{ 0^2}{2(0-1)^2} = 0 \), получили координаты критической точки \((0; 0)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку и одну точки, в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = - \frac{-1}{(-1-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0,5) = - \frac{0,5}{(0,5-1)^3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) = - \frac{2}{(2-1)^3} < 0\), на этом интервале функция убывает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получаем:
\(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((0; 0)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( - \frac{x}{(x-1)^3})'= - \frac{(x-1)^2 - 3(x-1)^2x}{(x-1)^6} = $$$$ = - \frac{x-1 - 3x}{(x-1)^4} = \frac{2x+1}{(x-1)^4}$$ Приравняем к нулю $$ \frac{2x+1}{(x-1)^4} = 0 => 2x+1 = 0 => x = -\frac{1}{2}$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал \((-\infty; -\frac{1}{2})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = \frac{2*(-1)+1}{(-1-1)^4} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-\frac{1}{2}; 1)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = \frac{2*0+1}{(0-1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((1; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(2) = \frac{2*2+1}{(2-1)^4} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x = -\frac{1}{2}\)- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(-\frac{1}{2}) = \frac{ (-\frac{1}{2})^2}{2((-\frac{1}{2})-1)^2} = \frac{1}{18}\). Координаты точки перегиба \((-\frac{1}{2}; \frac{1}{18} )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x =1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{ x^2}{2(x-1)^2} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ x^2}{2x(x-1)^2} = 0 => k= 0$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$Т.к. \(k=0\)
Наклонной асимптоты нет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}$$график функции стремится к \( \frac{1}{2}\)$$ \lim_{x \to - \infty} \frac{ x^2}{2(x-1)^2} = \frac{1}{2}$$график функции стремится к \( \frac{1}{2}\).
Горизонтальная асимптота \( y = \frac{1}{2} \).
Определим, с какой стороны приближается график функции к асимптоте, для этого найдем пределы:
$$ \lim_{x \to +\infty} (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2}) = \lim_{x \to +\infty} \frac{ x^2 - x^2+2x-1}{2(x-1)^2} = +0 $$ график функции приближается к асимптоте сверху
$$ \lim_{x \to -\infty} (\frac{ x^2}{2(x-1)^2}-\frac{1}{2}) = \lim_{x \to -\infty} \frac{ 2x-1}{2(x-1)^2} = -0 $$ график функции приближается к асимптоте снизу
9. График функции.
