Найдем интеграл: \( \int \frac{ arctg^2(x)+x}{1+x^2}dx \)
Решение: $$ \int \frac{ arctg^2(x)+x}{1+x^2}dx = \int \frac{ arctg^2(x)}{1+x^2}dx + \int \frac{x}{1+x^2}dx \quad (1)$$
Найдем интеграл \( \int \frac{ arctg^2(x)}{1+x^2}dx\) дробь \(\frac{1}{1+x^2}\) - производная от \( arctg(x) \) , поэтому введем замену \( t = arctg(x) => dt = \frac{1}{1+x^2}dx \), подставляем замену $$ \int t^2dt = $$ применяем табличную формулу интеграла степенной функции \( \int x^adx = \frac{1}{a+1} x^{a+1}\), получаем $$ = \frac{1}{3}t^3 +C = $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{3}arctg^3(x) +C$$
Найдем интеграл \( \int \frac{x}{1+x^2}dx\) числитель дроби \(x \) - производная от знаменателя \( 1 + x^2 \) , поэтому введем замену \( t = 1+x^2 => dt = 2xdx =>\frac{dt}{2} = xdx \), подставляем замену $$ \int \frac{1}{2t}dt = $$ применяем табличную формулу интеграла \( \int \frac{1}{x}dx = \ln(x)\), получаем $$ = \frac{1}{2}\ln(t) +C = $$ применяем обратную замену $$ = \frac{1}{2}\ln(1+x^2) +C $$
Подставляем результаты в (1), получаем $$ = \frac{1}{3}arctg^3(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) +C$$
Ответ: \( \int \frac{ arctg^2(x)+x}{1+x^2}dx = \frac{1}{3}arctg^3(x) + \frac{1}{2}\ln(1+x^2) +C \)
