0 Голосов
|
 |
| Posted Февраль 15, 2013 by Вячеслав Моргун |
|
|
Проанализируем данное логарифмическое неравенство. Известно, что монотонность логарифмической функции зависит от основания. Если основание больше 1 - функция возрастает, т.е. большему \(x\) соответствует больший \(y\),меньше 1 - функция убывает, т.е. большему \(x\) соответствует меньший \(y\). Это нужно, чтобы правильно поставить знак в неравенстве. Основание логарифма равно \(\frac{x}{3}\), т.е. необходимо рассмотреть 2 случая, когда \(\frac{x}{3}>1 => x > 3\) и \( 0 < \frac{x}{3} < 1 => 0 < x < 3 \). В неравенстве необходимо учесть ОДЗ корня и логарифма. ОДЗ корня \( 3-x \geq 0 => x \leq 3 \). ОДЗ логарифма, выражение под знаком логарифма больше 0, т.е. \( \sqrt{3-x} > 0 => 3-x > 0 => x < 3\) и основание логарифма \(x \ne 1\). Вывод: ОДЗ сложной функции \( x \in (0;1) \cup (1;3) \)
- \( x > 3 \). Данный случай рассматривать не будем, т.к. на основании ОДЗ \(x < 3 \) действительных решений уравнение на этом интервале не имеет.
- \( 0 < x< 3 \), с учетом ОДЗ \( x \in (0;1) \cup (1;3) \). На этом интервале функция убывающая, т.е. при переходе к аргументу знак неравенства меняется на противоположный.
$$\log_{\frac{x}{3}}(\log_{x}\sqrt{3-x}) \geq 0 =>\log_{x}\sqrt{3-x} \leq 1 =>$$Опять рассмотрим 2 случая
- \( x \in (0;1)\) - функция убывающая
$$\log_{x}\sqrt{3-x} \leq 1 =>\sqrt{3-x} \geq x =>3-x \geq x^2$$$$x^2+x-3 \leq 0$$находим корни \(x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\), методом "змейка" получаем решение \([\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}]\), с учетом рассматриваемого интервала получаем \(x \in (0;1)\).
- \( x \in (1;3)\) - функция возрастающая
$$\log_{x}\sqrt{3-x} \leq 1 =>\sqrt{3-x} \leq x => 3-x \leq x^2$$$$x^2+x-3 \geq 0$$находим корни \(x_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2}, x_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\), методом "змейка" получаем решение \((-\infty; \frac{-1-\sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; +\infty)\), с учетом рассматриваемого интервала получаем \(x \in (\frac{-1+\sqrt{13}}{2}; 3)\).
|
|
