Найдем интеграл \(\int\int_V \int(1+2x^3)dxdydz, V: y=9x, y=0, x=0, x=1, z=\sqrt{xy}, z=0\) Решение: граница интегрирования по z - функция z(x,y), граница интегрирования по y - функция y(x), а границы по x - константы. На основании этих данных сведем интеграл по области к тройному интегралу $$ \int\int_V\int(1+2x^3)dxdydz = \int_0^1dx \int_0^{9x} dy \int_0^{\sqrt{xy}}(1+2x^3)dz$$ 1. Найдем внутренний интеграл \(\int_0^{\sqrt{xy}}(1+2x^3)dz\), где \(z\) - переменная, а \(x,y\) - постоянные. $$\int_0^{\sqrt{xy}}(1+2x^3)dz = z+2x^3z|_0^{\sqrt{xy}} = \sqrt{xy}+2x^3 \sqrt{xy}$$ 2. Найдем интеграл от \(dy\), где \(y\) - переменная, а \(x\) - постоянные. $$ \int_0^{9x} ( \sqrt{xy}+2x^3 \sqrt{xy})dy = \int_0^{9x} \sqrt{xy} dy+ \int_0^{9x} 2x^3 \sqrt{xy}dy = $$$$ = \sqrt{x}*\frac{2}{3} y^{\frac{3}{2}} + 2x^3\sqrt{x}*\frac{2}{3}y^{\frac{3}{2}}|_0^{9x} = \sqrt{x}*\frac{2}{3} (9x)^{\frac{3}{2}} + 2x^3\sqrt{x}*\frac{2}{3}(9x)^{\frac{3}{2}} = 18x^2 + 36x^5$$ 3. Найдем интеграл от \(dx\), где \(x\) - переменная$$ \int_0^1(18x^2 + 36x^5)dx = 18 \frac{1}{3}x^3 + 36\frac{1}{6}x^6|_0^1 = 6+6=12$$ Ответ: $$\int\int_V \int(1+2x^3)dxdydz = 12 $$
