Бросаются 10 одинаковых игральных костей. Сколькими способами они могут упасть так, что :

1) ни на одной кости не выпадет 6 очков;
Рассчитаем следующим образом. Посчитаем максимальное количество комбинаций, оно будет равно

$$n_1 = 6^{10}$$ Теперь посчитаем количество комбинаций при которых выпадет число 6 $$n_2 = 2^{10}$$ Это число я получил так. Пусть 1 - выпало число 6, а 0 - выпало любое другое число. Переходим в двоичную систему исчисления и получаем число способов $1111111111_2 = 2^{10}$. Количество комбинаций при которых ни на одной кости не выпадет 6 очков равно $$n = n_1-n_2= 6^{10}- 2^{10} = 60465152$$
2) хотя бы на одной кости выпадет 6 очков;
это означает, что может быть 1,2,3 или ... 10 костей, количество комбинаций равно $n = 2^{10}$

3) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков;
В данном случае учитывается только состав выборки без учета порядка, т.е. считаем по формуле сочетаний

$$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!*7!} = \frac{8*9*10}{2*3} = 120$$
4) ровно на 3-х костях выпадет 6 очков, на 2-х других выпадет 5 очков.
Количество способов для трех костей по 6 очков уже получено и равно $n_1=120$, для двух костей по 5 очков равно $n_2 = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!*8!} = \frac{9*10}{2} = 45$. Общее количество случаев будет равно $$n = n_1*n_2 = 120*45 = 5400$$