а) цифры не повторяются;
В задании говорится о четырехзначных числах, т.е. множества из четырех чисел отличаются как составом чисел, так и их последовательностью, т.е. количество чисел находим по формуле Размещений \( A_n^m = \frac{n!}{(n-m)!}\), где \(n = 6\) - общее количество чисел, \(m = 4\) - число чисел в выборке.
Находим: $$d_1 = A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = 3*4*5*6 = 360$$
При этом нужно учесть, что числа не могут начинаться с 0, т.е. это количество чисел (начинающихся с 0) нужно вычесть из полученного количества. Первая цифра этих четырехзначных чисел известна - 0, а остальное количество чисел находим по формуле Размещения, где \(n = 5\), \(m = 3\), т.к. одна цифра (0) уже использована $$d_2 = \frac{5!}{2!} = 3*4*5 = 60$$
Получили, что количество четырехзначных чисел равно \(D = d_1-d_2 = 360 - 60 = 300\)
б) цифры могут повторяться;
В задании говорится о четырех значных числах, цифры которых могут повторятся, множества из четырех чисел с повторениями отличаются как составом чисел, так и их последовательностью, т.е. количество чисел находим по формуле Размещений с повторениями \( (A_n^m)_{с повторениями} = n^m\), где \(n = 6\) - общее количество чисел, \(m = 4\) - число чисел в выборке при этом нужно учесть, что на первой позиции может быть любое число кроме 0, т.е. возможная выборка - 5 чисел, поэтому количество возможных чисел можно выразить так $$D = 5*6*6*6 = 5*6^3 = 1080$$
в) используются только нечетные цифры и могут повторяться;
Выбираем из множества чисел только нечетные, получаем список чисел: 1;3;5, количество чисел в выборке \(m = 4\), количество возможных чисел равно \(4^3 = 81\)
г) используются только нечетные цифры и могут повторяться;
Выбираем из множества чисел только нечетные, получаем список чисел: 1;3;5.
Воспользуемся формулой Размещения с повторениями, при этом четвертым разрядом может быть любое число, кроме 0 (т.е. 5 чисел), а первым разрядом - одно из нечетных чисел (всего 3). Тогда по формуле Размещений с повторениями найдем количество четырехзначных чисел $$D = 5*6*6*3 = 540$$
