Заданную систему уравнений запишем в виде матричного уравнения $$Ax = b$$ где \(A =\left(\begin{array}{c}1& -1 & 3\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & 1\end{array}\right) \) - матрица коэффициентов при неизвестных, \(x =\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) \) - матрица неизвестных, \(b =\left(\begin{array}{c} -4\\ 5\\ 6\end{array}\right) \) - матрица свободных членов. Преобразуем матричное уравнение, выразим его через \(x\), получаем $$x = A^{-1}b$$ т.е для решения системы уравнений необходимо найти обратную матрицу \(A^{-1}\) и умножить ее на матрицу свободных членов.
1. Найдем обратную матрицу \(A^{-1}\) методом Гаусса-Жордана.
Этот метод я подробно описал в блоге "Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью метода Гаусса-Жордана", поэтому привожу решение без подробного описания:
а) Составляем блочную матрицу \((A|E)\) $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\ 2 & 1 & -2\\ 3 & 3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
б) Элементарными преобразованиями над строками приводим ее к простейшему виду \((E|A^{−1})\)
Согласно метода Гаусса-Жордана выберем ведущий элемент - это элемент \(a_{11}=1\).
Вычтем из второй строки первую строку, умноженную на два $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\ 0 & 3 & -8\\ 3 & 3 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
Вычтем из строки три - первую строку, умноженную на три $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\ 0 & 3 & -8\\ 0 & 6 & -8\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ -3 & 0 & 1\end{array}\right.\right)$$
Выберем ведущим элементом \(a_{22} = 3\). Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на два $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\ 0 & 3 & -8\\ 0 & 0 & 8\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ -2 & 1 & 0\\ 1 & -2 & 1\end{array}\right.\right)$$
Прибавим к второй строке третью $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\ 0 & 3 &0 \\ 0 & 0 & 8\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 1 & -2 & 1\end{array}\right.\right)$$Для того, чтобы получить по диагонали единицы, вынесем из второй строки 3, а их четвертой строки 8 $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& -1 & 3\\\\ 0 & 1 &0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c}1& 0 & 0\\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{8} & -\frac{2}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right.\right)$$
К первой строке прибавим вторую строку $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 3\\\\ 0 & 1 &0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{2}{3}& -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{8} & -\frac{2}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right.\right)$$
Вычтем из первой строки третью строку, умноженную на три $$(A|E) = \left(\begin{array}{c} 1& 0 & 0\\\\ 0 & 1 &0 \\\\ 0 & 0 & 1\end{array}\left|\begin{array}{c} \frac{7}{24}& \frac{5}{12} & -\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{8} & -\frac{2}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right.\right)$$Получили обратную матрицу $$A^{-1} = \left( \begin{array}{c} \frac{7}{24}& \frac{5}{12} & -\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{8} & -\frac{2}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right)$$
2. Найдем произведение матриц \( A^{-1}b \)
$$ \left( \begin{array}{c} \frac{7}{24}& \frac{5}{12} & -\frac{1}{24} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} & \frac{1}{3}\\ \frac{1}{8} & -\frac{2}{8} & \frac{1}{8} \end{array}\right) * \left(\begin{array}{c} -4\\ 5\\ 6\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -4*\frac{7}{24} + 5*\frac{5}{12} -6*\frac{1}{24}\\ 4*\frac{1}{3} - 5*\frac{1}{3} + 6*\frac{1}{3} \\ -4*\frac{1}{8} - 5*\frac{2}{8} + 6* \frac{1}{8} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -1\end{array}\right)$$
3. Ответ: $$x =\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \frac{2}{3}\\ \frac{5}{3}\\ -1 \end{array}\right)$$ Запишем ответ по другому \( x_1 = \frac{2}{3}; \quad x_2 = \frac{5}{3} \quad x_3 = -1\)
