Первообразной функции \(f(x)\) называется функция \(F(x)\), производная которой равна \(F'(x) = f(x)\). Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла от функции \(f(x)\). Найдем его:
Решение:
По определению \(F(x) = \int f(x)dx\), где, согласно условия задачи \(f(x) = \frac{12}{2x+3}-\frac{5}{x^2}\), ищем первообразную \(F(x)\) $$F(x) = \int (\frac{12}{2x+3}-\frac{5}{x^2})dx = $$Воспользуемся свойством интеграла суммы \(\int (f(x) \pm g(x))dx = \int f(x)dx \pm \int g(x)dx\), получим $$ = \int \frac{12}{2x+3}dx - \int \frac{5}{x^2}dx = $$вынесем константу за знак интеграла \( \int af(x)dx = a\int f(x)dx\), получим $$ = \int \frac{12}{2(x+\frac{3}{2})}dx - 5\int \frac{1}{x^2}dx = 6\int \frac{1}{x+\frac{3}{2}}dx - 5\int \frac{1}{x^2}dx = \quad (1)$$ Рассмотрим интеграл \(6\int \frac{1}{x+\frac{3}{2}}dx\), для его нахождения воспользуемся таблицей интегралов элементарных функций \(\int \frac{1}{x+a}dx = \ln(x+a) + C\), т.е. получаем \( 6\int \frac{1}{x+\frac{3}{2}}dx = 6 \ln(x+\frac{3}{2}) +C \)
Рассмотрим интеграл \(5\int \frac{1}{x^2}dx = 5\int x^{-2}dx\), для его нахождения воспользуемся таблицей интегралов элементарных функций, интеграл степенной функции \(\int x^adx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C\), т.е. получаем \( 5\int x^{-2}dx = 5\frac{x^{-2+1}}{-2+1} +C = -5\frac{1}{x} + C\) где \(C\) - произвольная константа. Подставляем полученные решения в (1), получаем $$ =6 \ln(x+\frac{3}{2}) - (-\frac{5}{x}) +C = 6 \ln(x+\frac{3}{2}) + \frac{5}{x} +C$$Ответ: первообразная функции \(f(x) \) равна \(F(x) = 6 \ln(x+\frac{3}{2}) + \frac{5}{x} +C \)
Ответ может быть представлен и в другом виде \(F(x) = 6 \ln(2x+3) + \frac{5}{x} +C \), покажем, что это два правильных ответа, которые отличаются только величиной константы \(C\). Проведем ряд преобразований \(F(x) = 6 \ln(2x+3) + \frac{5}{x} +C = 6 \ln[2(x+\frac{3}{2})] + \frac{5}{x} +C = \) \( 6 \ln2 + 6\ln(x+\frac{3}{2}) + \frac{5}{x} +C \), получили \(6\ln 2 =const\), т.е. обозначим \(6\ln 2 +C = C_1 \), получили ответ \( F(x) = 6 \ln(2x+3) + \frac{5}{x} +C_1\), что и требовалось доказать.
