Дана парабола \( y^2+8y+28x+72 = 0\). Составить уравнение директрисы.
В данном уравнении параболы переменная \(y^2\), поэтому приведем это уравнение к каноническому виду \(y^2 = 2px\). Имея каноническое уравнение параболы, получим уравнение директрисы, которое равно \( x = -\frac{p}{2}\), где \(p \) - параметр директрисы.
План решения:
1. Выделим полный квадрат в уравнении параболы $$ y^2+8y+28x+72 = 0 => (y^2+2*4y+16)-16+28x+72 = 0 =>$$$$(y+4)^2-16+28x+72 = 0 => (y+4)^2+28(x+2) = 0 =>$$$$(y+4)^2=-28(x+2) => (y+4)^2=-2*14(x+2)$$ Получили уравнение параболы с вершиной в точке \((-2;-4)\) , которая не лежит в начале координат.
2. Введем замену координат \(y'=y+4\) и \(x'=x+2\), получим каноническое уравнение параболы $$(y')^2 = -2*14x'$$ в новой системе координат, которая смещена относительно базовой: ось Ox на два вниз, а ось Oy на 4 влево относительно базовой. Вершина параболы находится в начале координат новой системы координат. Из полученного канонического уравнения получим уравнение параболы при известном параметре \(p=-14\) $$x' = -\frac{p}{2} = -\frac{-14}{2} = 7$$
3. Уравнение параболы в базовой системе координат: вернемся к базовой системе координат путем обратной подстановки \(x'=x+2 \)
$$x' = 7 => x+2=7 => x=5$$
4. Ответ: уравнение директрисы \(x = 5\)
