Вычислим определенный интеграл \(\int_1^2 \frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2} dx\)
1. Воспользуемся свойством определенного интеграла : интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме интегралов \( \int_a^b(f(x) \pm g(x))dx = \int_a^bf(x)dx \pm \int_a^bg(x)dx \) получим $$ \int_1^2 \frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2} dx = \int_1^2 (4x-5+2\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}) dx = $$$$ = \int_1^2 4xdx- \int_1^25dx+\int_1^22\frac{1}{x}dx+\int_1^2\frac{1}{x^2} dx \quad (1)$$ Получили четыре табличных интеграла
2. Находим интегралы, используя формулы табличных интегралов:
применяем формулу интеграла от степенной функции \( \int x^m = \frac{x^{m+1}}{m+1}\) для интегралов $$\int_1^2 4xdx = 4\int_1^2 xdx = 4*\frac{x^2}{2}|_1^2 = 4*( \frac{2^2}{2} -\frac{1^2}{2}) = 8 - 2=6$$
$$\int_1^25dx = 5 \int_1^2dx = 5*x|_1^2 = 5(2-1) = 5$$
$$\int_1^2\frac{1}{x^2} dx = \int_1^2x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1}|_1^2 = -\frac{1}{x}|_1^2 = -(\frac{1}{2} - 1) = \frac{1}{2}$$
применяем формулу интеграла от функции \( y= \frac{1}{x}\): \( \int \frac{1}{x} dx = \ln(x)\) $$ \int_1^22\frac{1}{x}dx =2 \int_1^2\frac{1}{x}dx = 2 \ln(x)|_1^2 = 2( \ln(2) - \ln(1)) = 2\ln(2) = \ln(4)$$
3. Подставляем в формулу (1)
$$ \int_1^2 \frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2} dx = \int_1^2 4xdx- \int_1^25dx+\int_1^22\frac{1}{x}dx+\int_1^2\frac{1}{x^2} dx = 6 - 5 + \ln(4)+ \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \ln(4)$$
4. Ответ: \(\int_1^2 \frac{4x^3-5x^2+2x+1}{x^2} dx = \frac{3}{2} + \ln(4)\)
