Найдем дифференциал первого и второго порядка функции $$z=e^x*\sin(y) $$
1. Дифференциал функции первого порядка.
Полный дифференциал функции нескольких переменных первого порядка равен сумме частичных дифференциалов
$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy \quad (1)$$
Функция \(z=e^x*\sin(y) \) - произведение двух функций двух переменных.
При нахождении частного дифференциала \( \frac{\partial z}{\partial x}\) переменная \(y\) считается постоянной величиной, т.е. \( \sin(y) = const\) $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x*\sin(y)) = \sin(y)\frac{\partial}{\partial x}(e^x) = e^x*\sin(y)$$
При нахождении частного дифференциала \( \frac{\partial z}{\partial y}\) переменная \(x\) считается постоянной величиной , т.е. \( e^x = const\) $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x*\sin(y)) = e^x\frac{\partial}{\partial y}(\sin(y)) = e^x*\cos(y)$$ Подставляем в формулу полного дифференциала (1) $$dz = e^x*\sin(y)dx + e^x*\cos(y)dy $$
2. Дифференциал функции второго порядка.
Дифференциал второго порядка от функции \( z=f(x;y)\) называется дифференциал от ее полного дифференциала первого порядка \( d^2z = d(dz)\). Дифференциал второго порядка от функции \( z=f(x;y)\), которая имеет непрерывные частные производные, рассчитывается по формуле $$d^2z = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}dx^2 + 2\frac{\partial^2z}{\partial{x}\partial{y}}dxdy + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}dy^2 \quad (2)$$Находим частные производные второго порядка $$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial }{\partial x}(e^x*\sin(y)) = e^x*\sin(y)$$$$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \frac{\partial }{\partial y}(e^x*\cos(y)) = -e^x*\sin(y)$$Смешанная производная \( \frac{\partial^2z}{\partial{x}\partial{y}} = \frac{\partial^2z}{\partial{y}\partial{x}}\) Убедимся в этом $$\frac{\partial^2z}{\partial{x}\partial{y}} = \frac{\partial}{\partial{y}}(e^x*\sin(y)) = e^x*\cos(y)$$
$$\frac{\partial^2z}{\partial{y}\partial{x}} = \frac{\partial}{\partial{x}}(e^x*\cos(y)) = e^x*\cos(y)$$ Подставляем результаты в формулу (2) $$d^2z = e^x*\sin(y)dx^2 + 2 e^x*\cos(y)dxdy -e^x*\sin(y)dy^2$$
