Если функция \(z(x,y)\) дифференцируема, то производная функции \( z(x;y)\)в точке M(1;1) по направлению, определяемому вектором \( \vec{a}\) находится по формуле $$ \frac{\text{d}z}{\text{d}a} = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta \quad (1)$$Для вычисления производной найдем:
1. направляющие косинусы вектора \( \vec{a}\) с координатами \( \vec{a} = (2;-1)\)
$$ \cos \alpha = \frac{2}{ \sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{2}{ \sqrt{5}}$$
$$ \cos \beta = \frac{-1}{ \sqrt{2^2+(-1)^2}} = -\frac{1}{ \sqrt{5}}$$
2. частные производные функции \(z(x;y)\)
$$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial }{\partial x}(\frac{3x^3-4y}{x+y}) = \frac{9x^2*(x+y) - (3x^3-4y)}{(x+y)^2} = \frac{9x^3+9x^2y - 3x^3 + 4y}{(x+y)^2} = \frac{6x^3+9x^2y + 4y}{(x+y)^2}$$ Подставляем координаты точки \(M(1;1)\)
$$\frac{\partial z}{\partial x} |_M = \frac{6*1^3+9*1^2*1 + 4*1}{(1+1)^2} = \frac{19}{4}$$
$$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial }{\partial y}(\frac{3x^3-4y}{x+y}) = \frac{-4(x+y) - (3x^3-4y)}{(x+y)^2} = \frac{-4x-4y - 3x^3+4y}{(x+y)^2} = -\frac{4x + 3x^3}{(x+y)^2}$$Подставляем координаты точки \(M(1;1)\)
$$\frac{\partial z}{\partial y} |_M = -\frac{4*1 + 3*1^3}{(1+1)^2} = -\frac{7}{4}$$
3. Подстановка в формулу производной (1)
$$\frac{\text{d}z}{\text{d}a}|_M = \frac{\partial z}{\partial x} \cos \alpha + \frac{\partial z}{\partial y} \cos \beta = \frac{19}{4}* \frac{2}{ \sqrt{5}} + \frac{7}{4}*\frac{1}{ \sqrt{5}} = \frac{1}{ \sqrt{5}}(\frac{38}{4} + \frac{7}{4}) = \frac{45}{4 \sqrt{5}} = \frac{9}{4}\sqrt{5}$$
4. Ответ: производная функции в заданной точке в заданном направлении равна \( \frac{9}{4}\sqrt{5}\)
