Функция \( arctg(x+z)-xy+5=0 \) - функция двух переменных, заданная неявным способом. Найдем частные производные функции z(x;y) по x и y.
Решать задаяу можно двумя методами:
1. Найдем частные производные неявно заданной функции \(F(x;y;z)\)
Обозначим \(F(x;y;z) = arctg(x+z)-xy+5\). Найдем частные производные функции F(x;y;z) по x и y при этом учтем, что x,y,z - независимые переменные
$$F'_x = \frac{\partial F}{\partial x}(arctg(x+z)-xy+5) = 0 => \frac{1}{(x+z)^2+1} - y$$$$F'_y = \frac{\partial F}{\partial y}(arctg(x+z)-xy+5) = 0 => - x$$$$F'_z = \frac{\partial F}{\partial z}(arctg(x+z)-xy+5) = 0 => \frac{1}{(x+z)^2+1}$$
2. Найдем частные производные неявно заданной функции \(z(x;y)\)
Для этого воспользуемся фомулами $$\frac{\partial z}{\partial x} = - \frac{F'_x}{F'_z } = $$$$ =-\frac{\frac{1}{(x+z)^2+1} - y}{\frac{1}{(x+z)^2+1}} = -1 +y((x+z)^2+1)$$$$\frac{\partial z}{\partial y} = - \frac{F'_y}{F'_z } = $$$$ = -\frac{ - x}{\frac{1}{(x+z)^2+1}} = x((x+z)^2+1)$$
