Найдем предел функции $$ \lim_{x \to 2\pi}{(\cos x)^{\frac{ctg{2x}}{\sin{3x}}}}$$
1. Найдем предел функции в точке \(x = 2\pi\) $$ \lim_{x \to 2\pi}{(\cos x)^{\frac{ctg{2x}}{\sin{3x}}}}= (\cos 2\pi)^{\frac{ctg{2*2\pi}}{\sin{3*2\pi}}} = 1 ^{ \infty}$$получили неопределенность вида \( 1^{\infty}\). Применим метод логарифмирования:
2 Метод логарифмирования.
Запишем метод $$ \lim_{x \to a} (f(x))^{g(x)} = \lim_{x \to a} e^{\ln(f(x))^{g(x)}}= $$$$ = \lim_{x \to a} e^{{g(x)}\ln{f(x)}} = e^{\lim_{x \to a}{g(x)}\ln{f(x)}}$$ Т.е. для решения примера найдем предел $$\lim_{x \to 2\pi}\frac{ctg(2x)}{\sin(3x)}*\ln(\cos(x)) = \frac{ctg(2*2\pi)}{\sin(3*2\pi)}*\ln(\cos(2\pi)) = \frac{\infty*0}{0}$$Для нахождения этого предела преобразуем его к неопределенности вида \( \frac{0}{0}\) и применим правило Лопиталя.
3. Преобразования.
Применим формулы:
синуса тройного угла \( \sin(3x) = 3\sin(x) - 4\sin^3(x)\),
синуса двойного угла \( \sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\) и
косинуса двойного угла \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\),
получим $$ \lim_{x \to 2\pi}\frac{ctg(2x)}{\sin(3x)}*\ln(\cos(x)) = \lim_{x \to 2\pi}\frac{ \frac{ \cos(2x)}{\sin(2x)}}{\sin(3x)}*\ln(\cos(x)) =$$$$ = \lim_{x \to 2\pi}\frac{ \cos(2x)}{\sin(2x)\sin(3x)}*\ln(\cos(x)) = \lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos^2(x) - \sin^2(x)}{2\sin(x)*\cos(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))}*\ln(\cos(x)) = $$$$ =\lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos^2(x)\ln(\cos(x)) }{2\sin(x)*\cos(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))} - \lim_{x \to 2\pi}\frac{ \sin^2(x) \ln(\cos(x))}{2\sin(x)*\cos(x)(3\sin(x) - 4\sin^3(x))} =$$$$ =\lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos(x)\ln(\cos(x)) }{6\sin^2(x) - 8\sin^4(x))} - \lim_{x \to 2\pi}\frac{ \ln(\cos(x))}{2\cos(x)(3 - 4\sin^2(x))} = \lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos(x)\ln(\cos(x)) }{6\sin^2(x) - 8\sin^4(x))} - 0 =$$$$ = \lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos(x)\ln(\cos(x)) }{6\sin^2(x) - 8\sin^4(x))} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Применяем правило Лопиталя
4. Правило Лопиталя.
Запишем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$$ Применяем правило Лопиталя $$ \lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos(x)\ln(\cos(x)) }{6\sin^2(x) - 8\sin^4(x))} = \lim_{x \to 2\pi}\frac{(\cos(x)\ln(\cos(x)))' }{(6\sin^2(x) - 8\sin^4(x)))'} = $$ Применяем формулу производной сложной функции и произведения$$ = \lim_{x \to 2\pi}\frac{-\sin(x)\ln(\cos(x)) - \cos(x) \frac{1}{\cos(x)}*\sin(x) }{12\sin(x)\cos(x) - 32\sin^3(x)\cos(x))} = - \lim_{x \to 2\pi}\frac{\ln(\cos(x)) + 1 }{12\cos(x) - 32\sin^2(x)\cos(x))} = -\frac{1}{12}$$
5. Подставляем решение п.4 в метод логарифмирования.
$$ \lim_{x \to 2\pi}(\cos x)^{\frac{ctg{2x}}{\sin{3x}}} = \lim_{x \to 2\pi} e^{ \ln(\cos x)^{\frac{ctg{2x}}{\sin{3x}}}} = e^{-\frac{1}{12}}$$
Ответ: $$ \lim_{x \to 2\pi}(\cos x)^{\frac{ctg{2x}}{\sin{3x}}} = \frac{1}{e^{\frac{1}{12}}} $$
