Найдем предел $$ \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-7x)}{\sin(\pi(x+7))} = \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-7x)}{\sin(\pi *x+7 \pi )} = $$ Воспользуемся формулами приведения для синуса \( \sin( \pi x+7 \pi ) = \sin( \pi x+2 \pi *3 + \pi) = -\sin( \pi x)\)$$ \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-7x)}{ - \sin(\pi *x)} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) применим правило Лопиталя \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}\), получаем $$ \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-7x)}{ - \sin(\pi x)} = - \lim_{x \to 0}\frac{( \ln(1-7x))'}{ (\sin(\pi *x))'} = $$$$ = - \lim_{x \to 0}\frac{ \frac{1}{1-7x}*(-7)}{ \cos(\pi *x)* \pi} = \lim_{x \to 0} \frac{7}{(1-7x) \cos(\pi x)* \pi} = \frac{7}{ \pi} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0}\frac{\ln(1-7x)}{\sin(\pi(x+7))} = \frac{7}{ \pi} \)
