Исследуем функцию \( y= \frac{x^3}{x^2-4} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения рациональной функции (дробь) будет: знаменатель не равен нулю, т.е. \(x^2 -4 \ne 0 => x \ne \pm 2\). ОДЗ $$D_f=(-\infty; -2) \cup (-2;2) \cup (2;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция имеет две точки разрыва x = -2
Функция имеет две точки разрыва x = 2
исследуем точку x= -2. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$ \lim_{x \to -2+0} \frac{x^3}{x^2-4} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to -2-0} \frac{x^3}{x^2-4} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = -2\) является вертикальной асимптотой.
исследуем точку x= 2. Найдем предел функции справа и слева от точки разрыва, справа $$\lim_{x \to 2+0} \frac{x^3}{x^2-4} = +\infty $$ и слева от точки $$ \lim_{x \to 2-0} \frac{x^3}{x^2-4} = -\infty $$ Это точка разрыва второго рода т.к. односторонние пределы равны \( \infty\).
Прямая \(x = 2\) является вертикальной асимптотой.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{(-x)^3}{(-x)^2-4} = -\frac{x^3}{x^2-4}\) функция является не четной, т.е. симметричной относительно начала координат (0;0)
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
Нули функции (точка пересечения с осью Ox): приравняем \(y=0\), получим \( \frac{x^3}{x^2-4}= 0 =>x = 0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox в точке с координатами (0;0).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x =0 и две точки разрыва x = 2, x =-2 , т.е. четыре интервала знакопостоянства
Определим знак функции на этих интервалах
интервал \((-\infty;-2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = \frac{(-3)^3}{(-3)^2-4} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((-2;0)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-1) = \frac{(-1)^3}{(-1)^2-4} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
интервал \((0;2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(1) = \frac{1^3}{1^2-4} < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(3) = \frac{(3)^3}{(3)^2-4} > 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) > 0 \), т.е. находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(f(0) = \frac{0^3}{0^2-4} =0 \). Кривая имеет одну точку пересечения с осью Oy в точке с координатами (0;0).
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{x^3}{x^2-4})'= \frac{(x^3)'*(x^2-4) - x^3(x^2-4)'}{(x^2-4)^2} =$$$$ =\frac{3x^2(x^2-4) - x^3*2x}{(x^2-4)^2} = x^2\frac{3x^2-12 - 2x^2}{(x^2-4)^2} = $$$$= x^2\frac{x^2-12}{(x^2-4)^2}$$ приравняем к 0 $$ x^2\frac{x^2-12}{(x^2-4)^2} = 0 => x_1= 0; x_2 = 2\sqrt{3}; x=-2\sqrt{3}$$ функция имеет три критические (стационарные) точки.
Найдем значение функции в этих точках
\(f(0)= \frac{0^3}{0^2-4} = 0 \), получили координаты критической точки \((0; 0)\)
\(f(-2\sqrt{3})= \frac{(-\sqrt{12})^3}{(-\sqrt{12})^2-4} = -3\sqrt{3} \), получили координаты критической точки \((-2\sqrt{3}; -3\sqrt{3})\)
\(f(2\sqrt{3})= \frac{(\sqrt{12})^3}{(\sqrt{12})^2-4} = 3\sqrt{3} \), получили координаты критической точки \((2\sqrt{3}; 3\sqrt{3})\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет три критические точки и две точки, в которых производная не определена (ОДЗ), они делят ось Ox на шесть интервалов монотонности.
интервал \((-\infty; -2\sqrt{3})\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-5) = (-5)^2\frac{(-5)^2-12}{((-5)^2-4)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( -2\sqrt{3}; -2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-3) = (-3)^2\frac{(-3)^2-12}{((-3)^2-4)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( -2; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = (-1)^2\frac{(-1)^2-12}{((-3)^2-4)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 0;2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = 1^2\frac{1^2-12}{(3^2-4)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \(( 2; 2\sqrt{3} )\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(3) = 3^2\frac{3^2-12}{(3^2-4)^2} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2\sqrt{3}; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(5) = 5^2\frac{5^2-12}{(5^2-4)^2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критических точек получили,
для \(x = -2\sqrt{3}\): \(\quad + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-2\sqrt{3}; -3\sqrt{3})\) приближенные координаты координаты для построения графика функции равны (-3,46; -5;2 )
для \(x = 0\): \(\quad - \quad 0 \quad -\), знак производной в этой точке не изменился, т.е. функция имеет точку перегиба с координатами \((0;0)\)
для \(x = 2\sqrt{3}\): \(\quad - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((2\sqrt{3}; 3\sqrt{3})\) приближенные координаты координаты для построения графика функции равны (3,46; 5;2 )
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( x^2\frac{x^2-12}{(x^2-4)^2})'= ( \frac{x^4-12x^2}{(x^2-4)^2})'= $$$$ = \frac{(x^4-12x^2)'(x^2-4)^2 - (x^4-12x^2)((x^2-4)^2)'}{(x^2-4)^4} = \frac{(4x^3-24x)(x^2-4)^2 - (x^4-12x^2)2(x^2-4)*2x}{(x^2-4)^4} =$$$$= 4x\frac{(x^2-6)(x^2-4) - (x^4-12x^2)}{(x^2-4)^3} = 4x\frac{x^4-10x^2+24 - x^4+12x^2}{(x^2-4)^3} = $$$$ = 8x\frac{x^2+12}{(x^2-4)^3}$$ Приравняем к нулю $$ 8x\frac{x^2+12}{(x^2-4)^3} = 0 => x = 0$$ Анализируем выпуклость на ОДЗ с учетом точки возможного перегиба
интервал \((-\infty; -2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-3) = 8(-3)\frac{(-3)^2+12)}{((-3)^2-4)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((-2; 0)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 8(-1)\frac{(-1)^2+12)}{((-1)^2-4)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((0; 2)\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 8*1\frac{1^2+12)}{(1^2-4)^3} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((2; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(3) = 8*3\frac{3^2+12)}{(3^2-4)^3} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Функция имеет одну точку, в которой вторая производная равна нулю \(x =0\)- точка возможного перегиба. Достаточным условие перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эту точку
\(\quad + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла. Найдем значение функции в этой точке \(f(0) = \frac{0^3}{0^2-4} = 0\). Результаты исследования п.6 также указывали на то, что это точка перегиба.
Координаты точки перегиба \((0; 0 )\)
8. Асимптоты.
Вертикальная асимптота. График функции имеет вертикальные асимптоты x = 2, x=-1 (см. п.2).
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у=\frac{x^3}{x^2-4} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x(x^2-4)} = 1 => k= 1$$ и второй предел $$ \lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^3}{x^2-4} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - x^3+4x}{x^2-4} = 0 => b=0$$ Получили уравнение наклонной асимптоты \( y = x\).
Рассмотрим поведение функции при приближении к наклонной асимптоте \( \lim_{x \to \infty}(f(x) - (kx+b)) \)
найдем пределы $$ \lim_{x \to +\infty} (\frac{x^3}{x^2-4} - x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - x^3+4x}{x^2-4} = $$$$ =\lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{x^2-4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{x^2}\frac{\frac{4}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{+0}{1} = +0$$ получили, что при \( x \to +\infty\) график функции приближается к асимптоте сверху.
$$ \lim_{x \to -\infty} (\frac{x^3}{x^2-4} - x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 - x^3+4x}{x^2-4} = $$$$ =\lim_{x \to -\infty} \frac{4x}{x^2-4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x^2}{x^2}\frac{\frac{4}{x}}{1-\frac{4}{x^2}} = \frac{-0}{1} = -0$$ получили, что при \( x \to -\infty\) график функции приближается к асимптоте снизу.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^2-4}= +\infty$$график функции стремится к \( +\infty\)$$ \lim_{x \to - \infty} \frac{x^3}{x^2-4} = - \infty$$график функции стремится к \( +\infty\). Горизонтальной асимптоты нет.
9. График функции.
