Решить неравенство: \( \log_{4-x}(2x+1) \leq \log_{4-x}8 + \log_{4-x}x^2\)
Преобразуем неравенство, воспользуемся формулой суммы логарифмов с одинаковым основанием \( \log_ab + \log_ac = \log_a(bc)\), получим $$\log_{4-x}(2x+1) \leq \log_{4-x}8 + \log_{4-x}x^2 => \log_{4-x}(2x+1) \leq \log_{4-x}(8x^2)$$
1. Найдем ОДЗ неравенства.
$$ \begin{cases} 4-x \ne 1 \\ 2x+1 > 0 \\ x^2 >0 \end{cases} => \begin{cases} x \ne 3 \\ x > -\frac{1}{2} \\ x \ne 0 \end{cases}$$
2. Метод рационализации.
Для решения этого неравенства воспользуемся методом рационализации логарифмических неравенств, который я подробно описал здесь.
Суть метода рационализации при решении логарифмических неравенств: неравенство \(\log_{a(x)}f(x) > \log_{a(x)}g(x)\) сводится к решению системы неравенств в которую мы напишем ОДЗ логарифмических функций \(a(x) > 0; a(x) \ne 1\), а также \(f(x) > 0 ; g(x) >0\) и допишем неравенство $$(a(x) -1)(f(x)-g(x)) \geq 0 \quad (1)$$
Решаем наше неравенство, где \( a(x) = 4-x\), \( f(x) =8x^2 \), \(g(x) = 2x+1\), подставляем в (1) и составляем систему уравнений с учетом ОДЗ
$$\begin{cases} x \ne 3 \\ x > -\frac{1}{2} \\ x \ne 0 \\ (4-x-1)(8x^2 - (2x+1)) \geq 0 \end{cases} =>$$ Решим отдельно неравенство $$ (4-x-1)(8x^2 - (2x+1)) \geq 0 => (x-3)(8x^2 - 2x-1)) \leq 0 => 8(x-3)(x- \frac{1}{2})(x + \frac{1}{4}) \leq 0$$ применяем метод змейки, получаем \( x \in (-\infty; -\frac{1}{4}] \cup [ \frac{1}{2};3]\).
$$\begin{cases} x \ne 3 \\ x > -\frac{1}{2} \\ x \ne 0 \\ x \in (-\infty; -\frac{1}{4}] \cup [ \frac{1}{2};3] \end{cases} => x \in (-\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2};3)$$
Ответ: \( x \in (-\frac{1}{2}; - \frac{1}{4}] \cup [\frac{1}{2};3)\)
