Решить неравенство: \( (2\frac{1}{4})^{ \log_3(x-1)} < (\frac{2}{3}^{ \log_{ \frac{1}{3}}(x+5)})\)
1. Находим ОДЗ показательных функций.
$$\begin{cases} x-1 > 0\\ x + 5 > 0\end{cases} => \begin{cases} x > 1\\ x > -5\end{cases} => x > 1$$ Получили ОДЗ неравенства \( x > 1 \)
2. Приводим к общему основанию показательные функции. Членами неравенства являются показательные функции. Приведем их к общему основанию \(2\frac{1}{4} = \frac{9}{4} = (\frac{3}{2})^2\), для второго члена неравенства \( \frac{2}{3} = (\frac{3}{2})^{-1}\). Подставляем $$ (2\frac{1}{4})^{ \log_3(x-1)} < (\frac{2}{3}^{ \log_{ \frac{1}{3}}(x+5)}) => (\frac{3}{2})^{2 \log_3(x-1)} < (\frac{3}{2}^{- \log_{ \frac{1}{3}}(x+5)}) =>$$ Воспользуемся формулой логарифма степени \( \log_ab^k = k \log_ab\) и \(\log_{a^k}b = \frac{1}{k} \log_ab\) при этом основание логарифма \( \frac{1}{3} = 3^{-1}\) получим $$ (\frac{3}{2})^{2\log_3(x-1)} < (\frac{3}{2}^{- \log_{3^{-1}}(x+5)}) => (\frac{3}{2})^{\log_3(x-1)^2} < (\frac{3}{2}^{ \log_{3}(x+5)}) => $$ Получили неравенство, членами которого являются показательные функции с общим основанием \( \frac{3}{2}\) больше единицы. Показательная функция с основанием больше единицы - монотонно возрастающая, т.е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. перейдем у рассмотрению аргументов при этом знак неравенства остается без изменения (функция монотонно возрастающая) $$ \log_3(x-1)^2 < \log_3(x+5) => $$ Логарифмическая функция с основанием больше единицы (в данном случае основание равно 3) так же является монотонно возрастающей, поэтому перейдем к рассмотрению аргументов, при этом знак неравенства остается без изменения $$ (x-1)^2 < x+5 => x^2 - 2x+1 < x + 5 => x^2 - 3x - 4 < 0 =>$$ Находим корни квадратного трехчлена \( x^2 - 3x - 4 = 0 => x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9+16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} => x_1=4;x_2=-1 =>\)$$(x+1)(x-4) < 0$$ Решаем неравенство методом змейки и получаем \( x \in (-1; 4)\) с учетом ОДЗ получаем $$\begin{cases} -1 < x < 4\\ x > 1\end{cases} => 1 < x < 4 => x \in (1;4)$$
Ответ: \( x \in (1;4) \)
