Решаем логарифмическое уравнение \(x^{ \frac{ \lg(x) + 11}{6}}=10^{ \lg(x)+1} \)
1. Найдем ОДЗ (область допустимых значений).
Для логарифма ОДЗ \( x > 0 => \) \( D_f = (0; +\infty)\).
2. Прологарифмируем уравнение: $$ x^{ \frac{ \lg(x) + 11}{6}}=10^{ \lg(x)+1} => \lg(x^{ \frac{ \lg(x) + 11}{6}})=\lg(10^{ \lg(x)+1}) =>$$ воспользуемся формулой логарифма степени \(\log_ax^k=k\log_ax \) и основным логарифмическим тождеством \( a^{\log_ax}=x \) $$ \frac{ \lg(x) + 11}{6} \lg(x)= (\lg x+1) \lg(10) => (\lg(x) + 11) \lg(x)= 6(\lg(x)+1) \lg(10) =>$$ т.к. \( \lg(10) = 1\) получим $$ \lg^2(x) + 11 \lg(x) - 6\lg(x)-6 =0 => \lg^2(x) + 5 \lg(x)- 6 =0 =>$$ получили квадратное уравнение относительно логарифма.
3. Решаем квадратное уравнение.
Введем обозначения \( \lg(x) = t\) получим $$ t^2+5t-6 =0$$ найдем корни квадратного уравнения \( t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{25+24}}{2} = \frac{-5 \pm 7}{2} => t_1 = -6; t_2 = 1 \) Делаем обратную подстановку \( t =\lg(x)\) и решаем следующую систему уравнений $$\begin{cases} \lg(x) = 1 \\ \lg(x) = -6 \end{cases} => \begin{cases} x = 10 \\ x = 10^{-6} \end{cases}$$
Ответ: \( x_1 = 10; x_2 = 10^{-6}\)
