Исследуем функцию \( y= \frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}} \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет \(D_f=( -\infty;+\infty)\)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = \frac{4e^{(-x)^2}-1}{e^{(-x)^2}} = \frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}}\) функция является четной, т.е. симметричной относительно оси Oy.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(\frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}}= 0 => 4e^{x^2}-1 =0 =>\) \( e^{x^2} =\frac{1}{4} => x^2 = \ln(\frac{1}{4})\) , данное равенство ложно при всех значениях \(x\), т.е. значение логарифма меньше нуля \( \ln(\frac{1}{4}) < 0 \), а \(x^2 >0\). Это означает, что нулей функции (точек пересечения с осью Ox) нет.
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет один интервал знакопостоянства на ОДЗ
интервал \((-\infty; +\infty)\) найдем значение функции в любой точке \(f(0) = \frac{4e^{0^2}-1}{e^{0^2}}= \frac{4-1}{1} > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox.
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), \( f(0)= \frac{4e^{0^2}-1}{e^{0^2}} = 3 \) . Точка пересечения с осью Oy имеет координаты \((0;3)\)
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = ( \frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}})' = (4 - \frac{1}{e^{x^2}})' =$$$$=(4 - \frac{1}{e^{x^2}})' = 0 - (\frac{1}{e^{x^2}})' = $$$$ =\frac{e^{x^2}*2x}{(e^{x^2})^2} = \frac{2x}{e^{x^2}}$$ приравняем к 0 $$ \frac{2x}{e^{x^2}} = 0 => x=0$$ Функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции с координатами \((0;3)\).
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку на ОДЗ, критическая точка и ОДЗ делят ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((-\infty; 0)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-1) = \frac{2(-1)}{e^{(-1)^2}} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((0; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(1) = \frac{2*1}{e^{1^2}} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получили,
для \(x = 0\): \( - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((0; 3)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( \frac{2x}{e^{x^2}})'= \frac{2e^{x^2} - 2x*e^{x^2}*2x}{(e^{x^2})^2}= 2\frac{1 - 2x^2}{e^{x^2}} $$ Приравняем к нулю $$ 2\frac{1 - 2x^2}{e^{x^2}} = 0 => 1 - 2x^2 =0 => x \pm \sqrt{ \frac{1}{2}}$$ Получили две точки возможного перегиба и три интервала выпуклости. Анализируем выпуклость графика функции на этих интервалах:
интервал \((-\infty; - \sqrt{ \frac{1}{2}})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(-1) = 2\frac{1 - 2(-1)^2}{e^{(-1)^2}} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
интервал \((- \sqrt{ \frac{1}{2}}; \sqrt{ \frac{1}{2}})\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(0) = 2\frac{1 - 2*0^2}{e^{0^2}} > 0\), т.е. на этом интервале вторая производная функции положительная \(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
интервал \((\sqrt{ \frac{1}{2}}; + \infty )\) найдем значение второй производной в любой точке \(f''(1) = 2\frac{1 - 2*1^2}{e^{1^2}} < 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Функция имеет две точки, в которых вторая производная равна нулю \(x \pm \sqrt{ \frac{1}{2}}\)- точки возможного перегиба. Достаточным условием перегиба является изменение знака второй производной при переходе через эту точку, рассмотрим эти точки
\(x = - \sqrt{ \frac{1}{2}} \approx - 0.71\) \(\quad - \quad 0 \quad +\) вторая производная знак поменяла, т.е. это точка перегиба.
Найдем значение функции в этой точке \(f(- \sqrt{ \frac{1}{2}}) = \frac{4e^{(- \sqrt{ \frac{1}{2}})^2}-1}{e^{(- \sqrt{ \frac{1}{2}})^2}}= \frac{4e-1}{e} \approx 3.63 \).
Координаты точки перегиба \((- \sqrt{ \frac{1}{2}}; \frac{4e-1}{e} )\)
\(x = \sqrt{ \frac{1}{2}} \approx 0.71\) \(\quad + \quad 0 \quad -\) вторая производная знак поменяла, т.е. это точка перегиба.
Найдем значение функции в этой точке \(f( \sqrt{ \frac{1}{2}}) = \frac{4e^{( \sqrt{ \frac{1}{2}})^2}-1}{e^{( \sqrt{ \frac{1}{2}})^2}}= \frac{4e-1}{e} \approx 3.63 \).
Координаты точки перегиба \(( \sqrt{ \frac{1}{2}}; \frac{4e-1}{e} )\)
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= \frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}} \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{4e^{x^2}-1}{xe^{x^2}} = 0 => k= 0$$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to \infty} \frac{4e^{x^2}-1}{e^{x^2}} = 4$$Получили, что \(y = 4\) - горизонтальная асимптота, при этом график асимптотически приближается к асимптоте снизу. .
Вертикальная асимптота. Вертикальной асимптоты нет.
9. График функции.
