Исследуем функцию \(y = x^2-2\ln(x) \) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x > 0 => \) \(D_f= (0;+\infty)\)
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = (-x)^2-2\ln(-x)\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(x^2-2\ln(x)= 0 \) , точек пересечения с осью Ox нет.
Интервалы знакопостоянства функции. Получили один интервал знакопостоянства на ОДЗ.
интервал \((0; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(1) = 1^2-2\ln(1) > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), точек пересечения с осью Oy нет, т.к. эта точка не попадает в ОДЗ.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x^2-2\ln(x))' = 2x-\frac{2}{x}= 2 \frac{x^2 - 1}{x} $$ приравняем к 0 $$ 2 \frac{x^2 - 1}{x} = 0 => x^2-1 =0 => x_1 = 1; \quad x_2=-1$$ Стационарная точка \( x_2= -1 \) не попадает в ОДЗ. Функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции.
Найдем значение функции в этой точке \(f(1)= 1^2-2\ln(1) = 1 \) получили координаты критической точки \(( 1; 1)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку на ОДЗ, критическая точка на ОДЗ делит ось Ox на два интервала монотонности.
интервал \((0; 1)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(0,5) = 2 \frac{0,5^2 - 1}{0,5} < 0\), на этом интервале функция убывает..
интервал \((1; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(2) =2 \frac{2^2 - 1}{2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получили,
для \(x = 1\): \( - \quad 0 \quad +\), т.е. функция имеет точку минимума с координатами \((1; 1)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 2x-\frac{2}{x})'= 2 + 2 \frac{1}{x^2} $$ При всех значениях \(x\) из ОДЗ вторая производная больше нуля.
\(f''(x) > 0 \) - функция выпуклая вниз (выпуклая).
Точки перегиба.
Точки перегиба нет, т.к. вторая производная не меняет знак.
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x^2-2\ln(x) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2-2\ln(x)}{x} = \infty => k= \infty$$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} (x^2-2\ln(x)) = \infty$$ горизонтальной асимптоты нет .
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точки \( x = 0\),
найдем предел при x-> 0+0 $$ \lim_{x \to 0+0}(x^2-2\ln(x)) = +\infty $$получили y= 0 (ось Oy) - вертикальная асимптота.
9. Построить график функции.
