Ищем наименьшее и наибольшее значения функции \(y=\frac{3x}{x^2+1}\) на отрезке [0;5].
Наибольшим, наименьшим значением функции на отрезке могут быть точки минимума, максимума или значения функции на концах отрезка.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1. Находим стационарные точки:
Для нахождения стационарных точек найдем первую производную и приравняем ее у нулю $$y' = (\frac{3x}{x^2+1})' = \frac{3(x^2+1) - 3x*2x}{(x^2+1)^2} = $$$$ = \frac{3x^2+3 - 6x^2}{(x^2+1)^2} = -3\frac{x^2-1}{(x^2+1)}$$ приравняем производную к нулю $$ -3\frac{x^2-1}{(x^2+1)} = 0 => x^2-1=0 => x_1=1; \quad x_2=-1$$
2 Выбираем из полученных стационарных точек те, которые принадлежат заданному отрезку.
В заданный отрезок попадает только одна точка\( x=1\). Получили точку вероятного экстремума (минимума, максимума).
3. Находим значения функции в выбранных стационарных точках (см п.2).
Найдем значение функции в этой точке $$f(1)=\frac{3*1}{1^2+1} = \frac{3}{2}$$
4. Находим значения функции на концах заданного отрезка:
$$f(0)=\frac{3*0}{0^2+1} = 0$$
$$f(5)=\frac{3*5}{5^2+1} = \frac{15}{26} \approx 0.58$$
5. Из полученных значений функции (п.3 и п.4) выбираем наибольшее и наименьшее значения.
Сравниваем результаты, полученные в п.3 и п.4
Наименьшее значение функции на отрезке - значение функции в левой границе отрезка \(f(0) = 0\)
Наибольшее значение функции на отрезке - значение функции в стационарной точке \(f(1) = \frac{3}{2}\), которая оказалась точкой максимума, проверяем это, определяем изменение знака первой производной при переходе через эту точку
\(f'(0) = 1 > 0 \), \(f'(2) = -\frac{3}{5} < 0 \), получили, что производная изменила знак с \( + \quad 0 \quad - \), т.е. это действительно точка максимума.
Т.о. в данном типе задач необязательно выяснять, является ли стационарная точка точкой экстремума, достаточно найти значение функции в этой точке и сравнить со значениями функции на концах отрезка.
Проверяем полученный результат, строим график функции:
