Исследуем функцию \(y=x+\ln(x^2-4)\) и построим ее график.
1. Область определения.
Областью определения функции будет область определения логарифма, т.е. \(x^2-4 > 0 => \)$$D_f=( -\infty;-2) \cup (2;+\infty)$$
2. Точки разрыва функции и их классификация.
Функция на ОДЗ точек разрыва не имеет.
3. Четность функции.
Проверяем на четность \(f(-x) = -x+\ln((-x)^2-4)\) функция не является ни четной ни нечетной.
4. Нули функции (точки пересечения с осью Ox). Интервалы знакопостоянства функции.
точка пересечения с осью Ox: приравняем \(y=0\), получим \(x+\ln(x^2-4)= 0 => x \approx 2.03\) , данное равенство можно рассматривать как общую точку двух функций \(y = -x\) и \(y = \ln(x^2-4)\).
Интервалы знакопостоянства функции. Кривая имеет одну точку пересечения с осью Ox это x = 2.03, т.е. с учетом ОДЗ три интервала знакопостоянства
интервал \((-\infty; -2)\) найдем значение функции в любой точке \(f(-3) = -3+\ln((-3)^2-4)= -1.39 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2; 2.03)\) найдем значение функции в любой точке \(f(2.01) = -2.01+\ln((-2.01)^2-4) = -5.23 < 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
интервал \((2.03 ; + \infty)\) найдем значение функции в любой точке \( f(3) = 3+\ln(3^2-4)= 4.61 > 0 \), на этом интервале функция положительная \(f(x) > 0 \), т.е. функция находится выше оси Ox
5. Точки пересечения с осью Oy: для этого нужно приравнять \(x=0\), точек пересечения с осью Oy нет, т.к. эта точка не попадает в ОДЗ.
6. Интервалы монотонности. Экстремумы функции.
Найдем критические (стационарные) точки, для этого найдем первую производную и приравняем ее к нулю $$y' = (x+\ln(x^2-4))' = 1+\frac{2x}{x^2-4} $$ приравняем к 0 $$1+\frac{2x}{x^2-4} = 0 => \frac{x^2+2x-4}{x^2-4} =0 => $$$$ x^2+2x-4 =0 => x_1 = -1+\sqrt{5}; x_2=-1-\sqrt{5}$$ Стационарная точка \( x_1= -1+\sqrt{5}\) не попадает в ОДЗ. Функция имеет одну критическую (стационарную) точку, т.е. одну точку возможного экстремума функции.
Найдем значение функции в этой точке \(f(-1-\sqrt{5})= (-1-\sqrt{5})+\ln((-1-\sqrt{5})^2-4) \approx -1.37 \), \(-1-\sqrt{5} \approx -3.24 \)получили координаты критической точки \((-3.24; -1.37)\)
Интервалы монотонности.
Функция имеет одну критическую точку на ОДЗ, критическая точка и ОДЗ делят ось Ox на три интервала монотонности.
интервал \((-\infty; -3.24)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-4) = \frac{(-4)^2+2(-4)-4}{(-4)^2-4} = \frac{1}{2} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
интервал \(( -3.24; -2)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(-3) = \frac{(-3)^2+2(-3)-4}{(-4)^2-4} = - \frac{1}{12} < 0\), на этом интервале функция убывает.
интервал \((2; +\infty)\) найдем значение первой производной в любой точке интервала \(f(4) = \frac{4^2+2*4-4}{4^2-4} =\frac{5}{3} > 0\), на этом интервале функция возрастает.
Экстремумы функции.
Достаточным условием существования экстремума является изменение знака производной при переходе через критическую точку.
Для критической точки получили,
для \(x = -1-\sqrt{5}\): \( + \quad 0 \quad -\), т.е. функция имеет точку максимума с координатами \((-3.24; -1.37)\)
7. Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Для нахождения интервалов выпуклости и вогнутости найдем вторую производную функции и приравняем ее к нулю $$y'' = ( 1+\frac{2x}{x^2-4})'= \frac{2(x^2-4)-2x*2x}{(x^2-4)^2}= - 2\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2} $$ Приравняем к нулю $$ - 2\frac{x^2+4}{(x^2-4)^2} = 0 => $$ При всех значениях \(x\) из ОДЗ вторая производная меньше 0
\(f''(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
Точки перегиба.
Точки перегиба нет, т.к. вторая производная не меняет знак.
8. Асимптоты.
Наклонная асимптота.
Для того, чтобы график функции \(у= x+\ln(x^2-4) \) при \(x \to \infty\) имел наклонную асимптота \(y = kx+b\), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела $$\lim_{x \to +\infty}=\frac{f(x)}{x} =k $$находим его $$ \lim_{x \to +\infty} \frac{x+\ln(x^2-4)}{x} = 1 => k= 1$$ и второй предел $$\lim_{x \to +\infty}(f(x) - kx) = b$$ находим его $$\lim_{x \to +\infty}(x+\ln(x^2-4) - x) = \lim_{x \to +\infty}\ln(x^2-4) = +\infty $$ получили, что график функции наклонной асимптоты не имеет.
Горизонтальная асимптота: для того, чтобы существовала горизонтальная асимптота, необходимо, чтобы существовал предел $$\lim_{x \to +\infty}f(x) = b$$ найдем его $$\lim_{x \to +\infty} (x+\ln(x^2-4)) = \infty$$горизонтальной асимптоты нет .
Вертикальная асимптота. Рассмотрим поведение функции в окрестности точек \( x \pm 2\),
найдем предел при x-> -2-0 $$ \lim_{x \to -2-0}(x+\ln(x^2-4)) = -\infty $$получили \(y=-2\) вертикальная асимптота.
найдем предел при x-> 2+0 $$ \lim_{x \to 2+0}(x+\ln(x^2-4)) = -\infty $$получили \(y= 2\) вертикальная асимптота.
9. График функции.
