Найти предел функции \( \lim_{x \to 0 }\frac{2^{3x}-3^{2x}}{x+\arcsin x^{3}} \)
1. Находим значение функции в точке \(x =0\), получаем $$ \lim_{x \to 0 }\frac{2^{3x}-3^{2x}}{x+\arcsin x^{3}} = \frac{1-1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя.
Правило Лопиталя: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке.
2. Найдем предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to 0 }\frac{2^{3x}-3^{2x}}{x+\arcsin x^{3}} =\lim_{x \to 0 }\frac{(2^{3x}-3^{2x})'}{(x+\arcsin x^{3})'} =$$$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{2^{3x}*3*\ln(2)-3^{2x}*2*\ln(3)}{1+\frac{1}{ \sqrt{1 - x^6}}*3x^2}= \frac{2^{3*0}*3*\ln(2)-3^{2*0}*2*\ln(3)}{1+\frac{1}{ \sqrt{1 - 0^6}}*3*0^2}=$$$$ = \frac{3*\ln(2)-2*\ln(3)}{1+0}= \ln(\frac{2^3}{3^2}) = \ln(\frac{8}{9})$$
Ответ: \( \lim_{x \to 0 }\frac{2^{3x}-3^{2x}}{x+\arcsin x^{3}} = \ln(\frac{8}{9})\)
