Найти предел тригонометрической функции \( \lim_{x \to 0 }\frac{tgx-\sin x}{x^3} \)
1. Находим значение функции в точке \(x =0\), получаем $$ \lim_{x \to 0 }\frac{tgx-\sin x}{x^3} = \frac{0}{0}$$ Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) Эта неопределенность раскрывается при помощи правила Лопиталя.
Правило Лопиталя: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \frac{f'(a)}{g'(a)} \) т.е согласно правила Лопиталя предел будет равен отношению производных числителя и знаменателя в точке.
2. Найдем предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to 0 }\frac{tgx-\sin x}{x^3} = \lim_{x \to 0 }\frac{(tgx-\sin x)'}{(x^3)'}$$$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{1}{ \cos^2 x}-\cos x}{3x^2} = \frac{1 - 1}{0} = 0$$Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) повторно применяем правило Лопиталя.
3. Найдем предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{1}{ \cos^2 x}-\cos x}{3x^2} = \lim_{x \to 0 }\frac{( \frac{1}{ \cos^2 x}-\cos x)'}{(3x^2)'} = \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{2 \cos x * \sin x}{ \cos^4 x}+ \sin x}{6x} = $$$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{2 \sin x}{ \cos^3 x}+ \sin x}{6x} = \frac{0}{0}$$Получили неопределенность вида \( \frac{0}{0}\) в третий раз применяем правило Лопиталя.
4. Найдем предел по правилу Лопиталя.
$$ \lim_{x \to 0 }\frac{ \frac{2 \sin x}{ \cos^3 x}+ \sin x}{6x} = \lim_{x \to 0 }\frac{( \frac{2 \sin x}{ \cos^3 x}+ \sin x)'}{(6x)'} = $$$$ = \lim_{x \to 0 }\frac{ 2 \frac{ \cos x *\cos^3 x + 3 \cos^2x* \sin x *\sin x}{ \cos^6 x}+ \cos x}{6} = \lim_{x \to 0 }\frac{ 2 \frac{\cos^2 x + 3 \sin^2 x}{ \cos^4 x}+ \cos x}{6} =$$$$= \lim_{x \to 0 }\frac{ 2 \frac{1 + 3 *0}{1}+ 1}{6} = \frac{3}{6}=\frac{1}{2} $$
Ответ: \( \lim_{x \to 0 }\frac{tgx-\sin x}{x^3} = \frac{1}{2}\)
