Найти предел иррациональной функции \( \lim_{x \to \infty }{(\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-3})}\)
1. Найдем предел $$ \lim_{x \to \infty }{(\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-3})} = \infty - \infty$$ Получили неопределенность. Решим ее путем умножения на сопряженный множитель.
2. Умножение на сопряженный множитель.
Сопряженным множителем будет множитель, удовлетворяющий формуле разности квадратов \(a^2-b^2 = (a-b)(a+b) \). В нашем случае \(\sqrt{x^2+3x-2} + \sqrt{x^2-3}\). Умножаем: $$ \lim_{x \to \infty }{(\sqrt{x^2+3x-2}-\sqrt{x^2-3})}*\frac{\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-3}}{\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-3}} = $$$$ = \lim_{x \to \infty }\frac{x^2+3x-2- x^2+3}{\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-3}} = \lim_{x \to \infty }\frac{3x+1}{\sqrt{x^2+3x-2}+\sqrt{x^2-3}}$$
3. Вынесем из числителя и знаменателя переменную в наибольшей степени, в данном примере это \(x\) (учтем, что для знаменателя \(x = \sqrt{x^2}\)), получим $$\lim_{x \to \infty } \frac{3x+1}{ \sqrt{x^2+3x-2}+ \sqrt{x^2-3}} = \lim_{x \to \infty } \frac{x}{x} \frac{3+\frac{1}{x}}{ \sqrt{1+ \frac{3}{x}- \frac{2}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{3}{x^2}}} =$$$$ = \frac{3+\frac{1}{\infty}}{ \sqrt{1+ \frac{3}{\infty} -\frac{2}{ \infty}}+ \sqrt{1-\frac{3}{ \infty}}}=\frac{3+0}{ \sqrt{1+0-0}+ \sqrt{1-0}}= \frac{3}{2}$$
Ответ: \( \lim_{x \to \infty }{( \sqrt{x^2+3x-2}- \sqrt{x^2-3})}= \frac{3}{2}\)
